2025.10.20 闲话

某个模拟赛题 \(O(\mathsf M(k)\log n)\) 做法详细揭秘！快进到

对于非负整数 \(n,k\)，

\[\begin{aligned}&a_{n,m}=0\qquad(m>k\text{ or }m<0)\\&a_{0,0}=1\\&a_{n,m}=a_{n-1,m-1}+(2m+1)a_{n-1,m}+(m+1)^2a_{n-1,m+1}\end{aligned} \]

蕴含

1. 对于 \(n\le k\)，\(a_{n,0}=n!\) .
2. 对于 \(n>k\)，\(\displaystyle a_{n,0}=\sum_{i=0}^k(-1)^i(i+1)!\dbinom{k+1}{i+1}^2a_{n-i-1,0}\) .

1 由组合意义显然，后证 2 .

转移矩阵

\[A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & & & & & & & \\ 1 & 3 & 4 & & & & & & \\ & 1 & 5 & & & & & & \\ & & & \ddots & & & & & \\ & & & & & i^2 & & & \\ & & & & 1 & 2i + 1 & & & \\ & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & 2k-1 & k^2 \\ & & & & & & & 1 & 2k + 1 \\ \end{bmatrix}\]

如果能计算特征多项式 \(P_k(x)=\det(xI-A)\)，那么根据 C-H 定理 \(P(A)=0\)，提取 \((0,0)\) 即得 \(a_{\cdot,0}\) 的递推 .

先按最后一行、再按最后一列展开可得：

\[P_k(x)=(x-2k-1)P_{k-1}(x)-k^2P_{k-2}(x) \]

其中 \(P_0(x)=x-1,\,P_1(x)=x^2-4x+2\) .

平移一位：

\[s_{n+1}(x)=(x-2n-1)s_n(x)-n^2s_{n-1}(x) \]

其中 \(s_0(x)=1,\,s_{<0}(x)=0\) .

下一步涉及到一些哑演算 (umbral calculus) 的知识，如果不会可以查看省流！

由递推式计算 Sheffer 序列

\[\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} \]

\(L\) 是线性泛函，\(p(x)\) 是多项式，记 \(\langle L\mid p(x)\rangle\) 表示 \(L\) 作用在 \(p(x)\) 上的结果 . 对于 \(\displaystyle f(t)=\sum_{k\ge 0}a_k\dfrac{t^k}{k!}\) 定义 \(\langle f(t)\mid x^n\rangle=a_n\) . 那么 \(\langle f(t)\mid x^n\rangle\) 和提取系数 \([x^n/n!]f(x)\) 是很一致的，进而 \(\langle f(t)\mid p(x)\rangle\) 也能描述 .

重要提示：\(t\) 是算子，\(x\) 是普通的元 .

对于 \(f(t),g(t)\)（\(\ord f=1,\,\ord g=0\)）存在唯一的多项式序列 \(s_n(x)\) 满足正交 (orthogonality) 条件：

\[\langle g(t)f(t)^k\mid s_n(x)\rangle=n![n=k]\qquad\forall n,k\ge 0 \]

这样的多项式序列 \(s_n(x)\) 被称为 \((g(t),f(t))\) 的 Sheffer 序列 . 特别的，\((1,f(t))\) 的 Sheffer 序列被称为 \(f(t)\) 的相关 (associated) 序列 . 序列 \(s_n(x)\) 是 \((g(t),f(t))\) 的 Sheffer 序列当且仅当 \(g(t)s_n(x)\) 是 \(f(t)\) 的相关序列 .

计算 Sheffer 序列的生成函数

展开定理 (The Expansion Theorem)

令 \(s_n(x)\) 是 \((g(t),f(t))\) 的 Sheffer 序列，则对于任意 \(h(t)\)，

\[h(t)=\sum_{k\ge0}\dfrac{\langle h(t)\mid s_k(x)\rangle}{k!}g(t)f(t)^k \]

证明比较简单就不写了（

对 \(\mathrm e^{xt}\) 用展开定理然后代入 \(f^{\langle -1\rangle}(t)\) 即可得到 \((g(t),f(t))\) 的 Sheffer 序列 \(s_n(x)\) 的生成函数

\[\sum_{k\ge0}s_k(x)\dfrac{t^k}{k!}=\dfrac1{g(f^{\langle-1\rangle}(t))}\mathrm e^{xf^{\langle-1\rangle}(t)} \]

（此处由于把 \(t\) 看成算子会导致 \(x,t\) 不交换，所以都视为形式变元）

直接计算 Sheffer 序列

提示：这一部分和后续过程没有关系，可以不看！

转换公式 (The Transfer Formulas)

若 \(p_n(x)\) 是 \(f(t)\) 的相关序列，则对于每个 \(n\ge 0\)，

1. \(p_n(x)=f'(t)\left(\dfrac{f(t)}t\right)^{-n-1}x^n\) .
2. \(p_n(x)=x\left(\dfrac{f(t)}t\right)^{-n}x^{n-1}\) .

证明：

考虑线性算子 \(\lambda\) 使得 \(\lambda x^n=p_n(x)\)，那么由于

\[\langle f(t)^k\mid \lambda x^n\rangle=\langle f(t)^k\mid p_n(x)\rangle=n![n=k]=\langle t^k\mid x^n\rangle \]

那么可以认为 \(\lambda\) 的效果就是代入 \(f^{\langle-1\rangle}(x)\)（严格证明需要借助连续性）.

那么

\[\begin{aligned}\langle g(t)\mid p(x)\rangle&=\langle g(t)\mid \lambda x^n\rangle\\&=\langle g(f^{\langle-1\rangle}(t))\mid x^n\rangle\\&=\langle g(t)f'(t)(f(t)/t)^{-n-1}\mid x^n\rangle\\&=\langle g(t)\mid f'(t)(f(t)/t)^{-n}x^n\rangle\end{aligned} \]

（第三个等号：另类 Lagrange 反演）

即得第一条转换公式 . 第二条只需要换成普通 Lagrange 反演，就不写了 .

对于 \((g(t),f(t))\) 的 Sheffer 序列 \(s_n(x)\)，直接考虑生成函数

\[\dfrac1{g(f^{\langle-1\rangle}(t))}\mathrm e^{xf^{\langle-1\rangle}(t)}=\sum_{k\ge0}s_k(x)\dfrac{t^k}{k!} \]

根据处理生成函数的经验，对 \(t\) 求偏导并整理导出递推式 . 最终可得：

定理

对于可逆级数 \(h(t)\) 和级数 \(l(t)\)，递推式

\[s_{n+1}(x)=(xh(t)+l(t))s_n(x)+\sum_{j=0}^mn!c_{n,j}s_{n-j}(x)\qquad s_0(x)=1,\,s_{<0}(x)=0 \]

的解是 \((g(t),f(t))\) 的 Sheffer 序列当且仅当：

1. \(\ord(g(t))=0\)，\(\ord(f(t))=1\) .
2. 对于 \(k\ge1\)，\(c_{k+j,j}=(1/k!)\sum(kc_{j+1,j}-(k-1)c_{j,j})\) .
3. \(f'(t)=(1/h(t))(1-\sum_{j=0}^m(c_{j+1,j}-c_{j,j})f(t)^{j+1})\) .
4. \(g'(t)/g(t)=-(1/h(t))(l(t)+\sum_{j=0}^mc_{j,j}f(t)^j)\) .

那么要从递推式得到序列，只需要解两个微分方程求得 \(f(t),g(t)\) 后利用转换公式即可 .

令 \(s_n(x)\) 是 \((g(t),f(t))\) 的 Sheffer 序列，则有：

\[f'(t)=(1+f(t))^2\qquad \dfrac{g'(t)}{g(t)}=1+f(t) \]

解得 \(f(t)=\dfrac t{1-t},\,g(t)=\dfrac1{1-t}\) .

那么 \(s_n(x)\) 的生成函数

\[\sum_{k\ge0}s_k(x)\dfrac{t^k}{k!}=\dfrac1{g(f^{\langle-1\rangle}(t))}\mathrm e^{xf^{\langle-1\rangle}(t)}=\dfrac{\mathrm e^{tx/(1+t)}}{1+t} \]

该如何提取？

\[\begin{aligned}{}[t^n]\dfrac{\mathrm e^{tx/(1+t)}}{1+t}&=[t^n]\sum_{k\ge 0}\dfrac{t^k}{(1+t)^{k+1}}[s^k]\mathrm e^{sx}\\&=\sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}[t^{n-k}]\dfrac1{(1+t)^{k+1}}\\&=\sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}\dbinom nk(-1)^{n-k}\end{aligned} \]

逐步回代即可完成证明！

注：\(s_n(x)\) 即为 \((-1)^n\) 乘 Laguerre 多项式 \(L_n(x)\) .

图