2025.9.24 闲话

现在我们尝试重新解决 2024.9.30 闲话中涉及到的递推问题，首先不加证明的指出：

Lemma

对于整数 \(1<n\le y<x\)，如下递推：

\[a_{i,j}=\dfrac{j-1}{i-1}\cdot a_{i-1,j-1}+\dfrac{i-j-1}{i-1}\cdot a_{i-1,j} \]

其中 \(a_{n,n-1}=1\) .

断言：\(a_{x,y}=\dbinom{y-1}{n-2}\bigg/\dbinom{x-1}{n-1}\) .

对于

\[f(n,m,k)=\begin{cases}1&n=m=0\\(n+k)\cdot f(n-1,m,k)&m=0\\(n-m+k)\cdot f(n-1,m,k)+m\cdot f(n-1,m-1,k)&\text{otherwise.}\end{cases} \]

由一些简单的代数变换可以知道

\[a_{i,j}=\dfrac{(n-1)!}{(i-1)!}\cdot f(i-n,i-j-1,n-2) \]

从而如果有 Lemma 则立得

\[f(n,m,k)=\dfrac{(n+k+1)!}{(k+1)!}\dbinom{n-m+k}{k}\bigg/\dbinom{n+k+1}{k+1}=n!\dbinom{n-m+k}k \]

这正是 2024.9.30 闲话中所提到的结论，从而只需要证明 Lemma 即可解决问题 .

而 \(a\) 由一个组合问题给出：对于长度为 \(n\) 的序列 \(v=1,2,\cdots,n\)，进行 \(x-n\) 次操作，每次随机从序列中选中一个数并把它原地复制一份到它后面，则 \(a_{x,y}\) 是最后序列中存在 \(x-y\) 个 \(1\) 的概率 .

对于这个问题来说可以考虑直接对 \(v\) 数方案数，那么容易发现概率即为 \(a_{x,y}=\frac{\binom{y-1}{n-2}(x-n)!}{\binom{x-1}{n-1}(x-n)!}=\frac{\binom{y-1}{n-2}}{\binom{x-1}{n-1}}\)，这也就给出了 Lemma 的证明 .

图

今天是 IOI 2000 二十五周年