小题狂练 (J)

[AGC070B] Odd Namori

Matrix-Tree 定理：给一张带权有向图 \(G\)，求 \(G\) 所有以 \(1\) 为根的内向生成树边权之和 .

看成给每个点 \(i\ge2\) 选一个出边 \(p_i\)，不能连自环，求 \((1-1)^{\#\mathrm{cycle}}\) 之和，也就是相当于钦定若干环贡献 \(-1\) . 直接分析 Kirchhoff 矩阵 \(L=D-A\) 的行列式就相当于是选一个排列 \(\pi\)，不是自环的部分贡献边权（这些部分相当于钦定的环），自环部分乱连 . 由于交换一次排列奇偶性改变所以逆序对个数的奇偶性和 \(n-\#\mathrm{cycle}\) 的奇偶性是一样的，最后加上 \(A\) 上的负号的贡献，容斥系数正好是 \((-1)^{\#\mathrm{cycle}}\) .

对于原题来说相当于算 \((1+1)^{\#\mathrm{odd}}(1-1)^{\#\mathrm{even}}\)，学习 Matrix-Tree 定理可以发现其实是算 \(\det(D+A)\) .

构造这样一个图（以下所有 \(i\in[2,n]\)）：\(1\xrightarrow{-1}i,\,i\xrightarrow{n}1,\,i\xrightarrow{1}p_i,\,i\xrightarrow{-2}0,\,1\xrightarrow{2n}0\) . 由 Matrix-Tree 定理可知就是要算以 \(0\) 为根的内向生成树边权和 .

接下来先选树边，然后讨论 1 连 0 还是连树上的点，把贡献拆到树上就可以得到答案的表达式了 .

upd. 听说有拟阵道理？不过我还没看（

[JOI Open 2025] 冒泡排序机 / Bubble Sort Machine

一个前缀 \([1,x]\) 经过 \(c\) 轮冒泡后得到的序列相当于 \([1,x+c]\) 的前 \(x\) 小值，然后就随意维护了 .

[AGC039F] Min Product Sum

一、行 min 和列 min 是 \(a_i,b_j\)，那么就是要求 \(\prod_{i,j}\min(a_i,b_j)\) 之和 . 从小到大填，每轮分步转移行 / 列，min 需要容斥一下才能做 .

二、考虑改成数 \((A,B)\) 使得 \(A\) 的行 max 不大于 \(B\) 的行 min 且 \(A\) 的列 max 不大于 \(B\) 的列 min，从小到大填 \(A\) 的行 max 和 \(B\) 的列 min，每轮分步转移行 / 列，这样就能做了 .

CF1842G Tenzing and Random Operations

等要选的时候再结算 \(v\) 的方位（以前选过 / 以前没选过），时间复杂度 \(O(n^2)\) .

[清华集训 2024] 乘积的期望

神奇的 Imbalance's trick 题：

\(3m\le n\)：学习 CF1842G，令第 \(i\) 次在 \(p_i\) 操作，则答案为 \(\prod_i\sum_jb_{p_j}([p_j\le i]-[p_j\le i-m])\) . 同样延后计算，后面带 \(i-m\) 的项在 \(i\) 处计算，状态里记一个 \(m\)-bit 的二进制数标记选过哪些 \(-[p_j\le i-m]\) 即可 . 时间复杂度 \(O(n^22^m)\) .
\(3m>n\)：把序列排成三行，每行 \(m\) 个数 . 直接考虑最后 \(a\) 长什么样，讨论可得 \(a\) 需要满足下面三个条件：第一行递增，第三行递减；\(a_i+a_{i+m}+a_{i+2m}=c\)；\(a_m+a_{2m+1}<c\) . 同时如果知道第一行和第三行就知道操作方案了 . 那么可以枚举 \(a_{2m+1}\) 按列 DP 记两行解决，两行可以分步转移以做到 \(O(nc^4)\) . 根据前一个 case 可以知道答案是关于 \(c\) 的不超过 \(n\) 次多项式，那么插值一下就可以 \(O(n^6)\) 了 .

综合以上两部分即可！

[THUPC 2024 决赛] 采矿

问 50 次，保证每条边问 25 次 0、25 次 1，然后就能推出来了 .

PKUSC 2024 D2T2 排队

把询问挂到右端点上，扫描线扫右端点，动态维护每个左端点的答案 . 显然有单调性，从而每次只需要二分到对应的位置然后区间 +1 即可 . 时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\) .

QOJ #9879. ReTravel

大概有一个树形结构，\(dp_{l,r}\) 表示 \(l,r\) 区间（作为一整个结点）的答案，让起点是 \((\min x,\min y)\) 然后枚举分界点即可 . 时间复杂度 \(O(n^3)\) . 如果利用决策单调性应该可以到达 \(O(n^2)\) .

CF1034E Little C Loves 3 III

占位多项式代入 \(x=4\) 直接或卷积算即可 \(O(n2^n)\) . 这里错的贡献肯定是 4 的倍数所以有正确性 . 有点卡常啊这个题 .

[HBCPC2024] Points on the Number Axis B

贡献拆开就是算比赛那个题的 \(a_i=1\) 版本，然后应该就随手过了 .

[SEERC 2019] Tree Permutations

首先将 \(a\) 排序，如果存在 \(a_i>i\) 直接无解 . 对于所有 \(a_i=i\) 的数必定在 \(1-n\) 的路径上，那么 \(1-n\) 的路径长度至少不小于 \(a_i=i\) 的个数、不大于 \(a_i\) 中互不相同的元素个数 .

对于界里面的路径长度 \(k\)，只需要把 \(a_i=i\) 的元素和剩下的元素中最小的若干数拿出来做序列 \(p\)，剩下的前 \(k\) 大做序列 \(w\) 就可以了 . 直接维护即可 \(O(n\log n)\) .

Candy Retribution

[JOISC 2020] ビルの飾り付け 4

[PA 2010] Termites

首先改成若干个 deque 在开头或结尾取 . 注意到如果三个相邻的位置 \(x,y,z\) 满足 \(y\ge x,z\) 且 \(x\le z\) 那么肯定按 \(x,y,z\) 顺序连着删，所以可以合并成一个数 . 那么合并出来最后每个 deque 都是单谷的，朴素贪心即可 .

O(rand)

首先改成数 OR 为全集、AND 为空集的集合个数 . 考虑容斥，钦定若干位 \(mask\) 不合法，那么选中的数必须满足 AND 上 \(mask\) 后一样，可以扫一遍开桶记录 . 时间复杂度 \(O(nV)\) .

QOJ #8235. Top Cluster

QOJ #8049. Equal Sums

[Ynoi2024] After god

[COTS 2023] 下 Niz

CF2152G Query Jungle

Hint. consider the Euler tour

CF377D Developing Game

[Ynoi Easy Round 2021] TEST_152

QOJ #8528. Chords

首先有朴素的 \(O(n^2)\) DP，然而注意到答案大概率是 \(O(\sqrt n)\) 级别的，从而交换值域定义域即可 \(O(n^{1.5})\) .

QOJ #2562. Fake Plastic Trees 2

DP 如果 \(x,y,z\) 都可行且 \(z-x\le R-L+1\) 那么可以不存 \(y\)，这样就是 \(O(nk^3)\) 的 .

[SDOI/SXOI2022] 小 N 的独立集

内层 DP \(\max(dp_{u,0},dp_{u,1})-dp_{u,0}\le k\)，所以只有 \(O(nk^2)\) 状态 .

[Ynoi2013] 对数据结构的爱

魔怔

[ABC429G] Sum of Pow of Mod of Linear

可爱捏

CF1572F Stations

[Ynoi2004] rpfrdtzls

~~（标题感觉破解不出来，如果以后破解了就补）~~
标题破解：rpfrdtzls = range push front range divide-to-zero length sum.

对序列扫描线，关于历史和只有改变的段才改，别的段直接用 \(kx+b\)，这样就只会改 \(O(q)\) 次，总共就是 1 log 的 .

进行了一些非常魔怔的卡常才过。。~~惊现压位 Trie~~

P8321 『JROI-4』沈阳大街 2

posted @ 2025-09-12 07:38 yspm 阅读(78) 评论(0) 收藏举报

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