2025.7.19 闲话

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免责声明：后面大概是把 well-known 的东西再随便谈谈，可能没啥意义。

由于某些原因发现高维前缀和和 Dirichlet 前缀和不得不说有着千丝万缕的联系。。比如 CF2039F2 好像其实和 P11458 是一样的，不过前面那个题是黑色的。可以想想有什么只有一侧做过另一侧还没做的事（

如果学过离散数学可能知道 Dirichlet 卷积相当于是在处理整除关系的 lattice、位运算 (OR / AND) 卷积是在处理包含关系的 lattice，对于整除关系来说可以在素数幂分解为若干线性序的直积、对于包含关系来说可以按位分解为若干线性序的直积，所以实际上它们的表现是很相似的 .

大家应该都知道 GCD/LCM 卷积和 OR/AND 卷积有着千丝万缕的联系：

\[\begin{aligned}&h(n)=\sum_{\gcd(a,b)=n}f(a)g(b)\iff \sum_{n\mid d}h(n)=\left(\sum_{a\mid d}f(a)\right)\left(\sum_{b\mid d}g(b)\right)\\&h(n)=\sum_{a\cup b=n}f(a)g(b)\iff \sum_{n\supseteq x}h(n)=\left(\sum_{a\supseteq x}f(a)\right)\left(\sum_{b\supseteq x}g(b)\right)\end{aligned} \]

今天迷思的时候想到，Dirichlet 卷积对于位运算侧是什么呢？可能感觉会对应子集卷积，不过其实情况还是有一点区别，子集卷积对应的其实是正交 Dirichlet 卷积：

\[(f\otimes g)(n)=\sum_{\substack{ab=n\\a\perp b}}f(a)g(b) \]

那么根据子集卷积道理，正交 Dirichlet 卷积可以做到 \(O(n(\log\log n)^2)\) .

追忆过去可以知道，普通的 Dirichlet 卷积可以通过枚举 \(g=\gcd(a,b)\) 处理除以 \(g\) 的正交 Dirichlet 卷积并贡献到 \(g^2\) 处求得，计算可得即使枚举 \(g\) 此处的复杂度也可以被控制在 \(O(n(\log\log n)^2)\) 量级（应该大概是个 \(\zeta(2)\) 道理）.

（其实也不一定非得是正交 Dirichlet 卷积，飞雨烟雁博客里写了一个 square-free Dirichlet 卷积）

关于位运算卷积有所谓集合幂级数，能不能对于整除也编一个这种幂级数？事实证明由于整除没有类似 XOR 这种 non-trivial 的运算即使设计了也不太能简化问题（？