2025.6.29 闲话

图

\[\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \]

采用记号 \(\{x\}\) 表示 \(x\) 的小数部分 .

一个实数 \(\alpha\) 的谱 (spectrum) 是整数组成的无限多重集合：

\[\Spec(\alpha)=\{\lfloor\alpha\rfloor,\lfloor2\alpha\rfloor,\lfloor3\alpha\rfloor,\cdots\} \]

Wythoff 博弈中的一个结论：

Beatty 定理

对于正无理数 \(x,y\)，若 \(\dfrac1x+\dfrac1y=1\)，则 \(\Spec(x),\Spec(y)\) 构成正整数的划分 .

最近观看具体数学，发现一个比较纯良的证明 .

考察 \(\Spec(\alpha)\) 中 \(\le n\) 的元素个数：

\[\begin{aligned}N(\alpha,n)&=\sum_{k>0}[\lfloor k\alpha\rfloor\le n]\\&=\sum_{k>0}[k\alpha<n+1]\\&=\left\lceil\dfrac{n+1}\alpha\right\rceil-1\end{aligned} \]

如果对于所有正整数 \(n\) 都有 \(N(x,n)+N(y,n)=n\)，那么 \(\Spec(x),\Spec(y)\) 组成正整数的划分 .

由于对于每个 \(n\) 有 \(\left\{\dfrac nx\right\}+\left\{\dfrac ny\right\}=1\)，从而

\[\begin{aligned}n&=n+1-1\\&=\dfrac{n+1}x+\dfrac{n+1}y-\left\{\dfrac{n+1}x\right\}-\left\{\dfrac{n+1}y\right\}\\&=\left\lfloor\dfrac{n+1}x\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{n+1}y\right\rfloor\\&=\left\lceil\dfrac{n+1}x\right\rceil-1+\left\lceil\dfrac{n+1}y\right\rceil-1\\&=N(x,n)+N(y,n)\end{aligned} \]

证明完毕！

事实上：对于正实数 \(x,y\)，\(\Spec(x),\Spec(y)\) 构成正整数的划分当且仅当 \(x,y\) 是无理数且 \(\dfrac1x+\dfrac1y=1\) .

如果感兴趣可以尝试阅读具体数学中关于谱的其他问题（