2025.6.27 闲话

图

好吧我又在水闲话了。。

欲求：

\[\displaystyle F(z)=\sum_{k=0}^n\dbinom{n-k}kz^k \]

知道二项式系数的 BGF：

\[C(x,y)=\sum_{i\ge0}\sum_{j\ge0}\dbinom ijx^iy^j=\dfrac1{1-x-xy} \]

那么 \(\dbinom {n-m}m\) 的 BGF：

\[\sum_{i\ge0}\sum_{j\ge0}\dbinom{i-j}jx^iy^j=C(x,xy)=\dfrac1{1-x-x^2y} \]

接下来只需提取 \([x^n]\)，分式分解即可 .