2025.6.8 闲话

图

\[\sum_{i=0}^n\dbinom{n-i}i=F_{n+1} \]

其中 \(F\) 是 Fibonacci 数列 .

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这个式子很简单的而且 OI Wiki 也有，不过最近有人（我不说是谁）问能不能直接推——

\[\begin{aligned}\sum_{i=0}^n\dbinom{n-i}i&=\sum_{i=0}^n[x^0](1+x)^{n-i}x^{-i}\\&=[x^0](1+x)^n\sum_{i=0}^n(1+x)^{-i}x^{-i}\\&=[x^0](1+x)^n\dfrac{1-\left(\frac1{x^2+x}\right)^{n+1}}{1-\frac1{x^2+x}}\\&=[x^0](1+x)^n\dfrac1{1-\frac1{x^2+x}}\left(1-\left(\dfrac1{x^2+x}\right)^{n+1}\right)\\&=[x^0](1+x)^n\dfrac{x^2+x}{x^2+x-1}\left(1-\left(\dfrac1{x^2+x}\right)^{n+1}\right)\end{aligned} \]

在此处稍作停顿，注意到 \(\operatorname{ord}\left((1+x)^n\dfrac{x^2+x}{x^2+x-1}\right)=1\)，不可能会被 \([x^0]\) 提取到 .

\[\begin{aligned}&=-[x^0](1+x)^n\dfrac{x^2+x}{x^2+x-1}\left(\dfrac1{x^2+x}\right)^{n+1}\\&=-[x^0]\dfrac{x^{-n}}{x^2+x-1}\\&=[x^n]\dfrac1{1-x-x^2}\\&=F_{n+1}\end{aligned} \]

证明完毕！

什么什么

有标号有根树 \(T=x\exp T\)，要提取 \([x^n]T\) .

（这个的 Lagrange 反演很经典了，就不详写了）

调用普通 Lagrange 反演：

\[[x^n]T(x)=\dfrac1n[x^{n-1}]\exp nx \]

如果你忘记了怎么提取 \(\exp nx\)——

调用另类 Lagrange 反演：

\[[x^n]T(x)=[x^n]\dfrac{x(1-x)}{\exp x}\exp((n+1)x)=[x^{n-1}](1-x)\exp nx \]

对比即得？

joke 表示其实就是 ODE！不过其中可能蕴含着某些深刻的矛盾

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