2025.5.10 闲话

图

记号约定：对于数论函数 \(f\)，\(\mathrm Sf(n)=\sum_{i=1}^n f(i)\) 是它的前缀和 .

令

\[f(n)=\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n[a^2b^3=n] \]

\(g\) 是一个可以 \(O(1)\) 求前缀和的数论函数，求 \(\mathrm S(f*g)(n)\) .

---

首先 \(f\) 的 DGF 为 \(\zeta(2x)\zeta(3x)\)，令 \(g\) 的 DGF 为 \(G(x)\)，则 \(f*g\) 的 DGF 为：

\[\zeta(2x)\zeta(3x)G(x)=\dfrac{\zeta(2x)\zeta(3x)}{\zeta(6x)}\cdot\zeta(6x)G(x) \]

其中 \(\dfrac{\zeta(2x)\zeta(3x)}{\zeta(6x)}\) 是 Powerful Number 的 DGF .

那么令 \(h\) 的 DGF 为 \(\zeta(6x)G(x)\)，则：

\[\mathrm S(f*g)(n)=\sum_{\substack{i\le n\\i\text{ is PN}}}\mathrm Sh\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right) \]

关于 \(h\)，把它看成 \(\zeta(6x)\) 和 \(G(x)\) 的乘积，

\[\mathrm Sh(n)=\sum_i\mathrm Sg\left(\left\lfloor\dfrac n{i^6}\right\rfloor\right) \]

那么可以在 \(O(n^{1/7})\) 时间内计算一个 \(\mathrm Sh(n)\) .

回代！时间复杂度为（以下省略渐进记号）：

\[\begin{aligned}T(n)&=\sum_{\substack{i\le n\\i\text{ is PN}}}\left(\dfrac ni\right)^{1/7}\\&=\int_1^{\sqrt n}\left(\int_1^{\sqrt[3]{n/a^2}}\left(\dfrac n{a^2b^3}\right)^{1/7}\mathrm db\right)\mathrm da\\&=n^{1/7}\int_1^{\sqrt n}\dfrac1{a^{2/7}}\cdot\left(\sqrt[3]{\dfrac n{a^2}}\right)^{20/21}\mathrm da\\&=n^{29/63}\int_1^{\sqrt n}\dfrac1{a^{58/63}}\mathrm da\\&=n^{29/63}\cdot n^{5/126}\\&=n^{1/2}\end{aligned} \]

震惊！竟然是 \(O(\sqrt n)\)（

JOI