2025.3.2 闲话

图

支持一下 joke 的 q-analog 题目（

BTW 快来做 STARGAZERS（

单项式多项式

求 \(\mathbb{F}_p^{n\times m}\) 上秩为 \(k\) 的随机矩阵 \(M\) 中非零元素个数的期望 .

首先注意到每个位置 \((i,j)\) 取值的分布都是一样的因为可以通过交换行 / 列任意调整元素的位置并且不改变秩 . 那么只需要求 \(nm\cdot\mathbb P(M_{1,1}\neq 0)\) .

考察矩阵的满秩分解：对于秩为 \(k\) 的 \(n\times m\) 矩阵 \(M\)，记 \(M=CR\) 其中 \(C\) 是秩为 \(k\) 的 \(n\times k\) 矩阵、\(R\) 是秩为 \(k\) 的 \(k\times m\) 矩阵 .

可以考虑固定 \(R\) 为行简化阶梯矩阵，这样一个矩阵 \(M\) 唯一对应一组分解 \((C,R)\)，所以可以通过独立的选择 \(C,R\) 然后相乘来得到 \(M\) . 同时由于 \(R\) 是行简化阶梯矩阵所以 \(R_{i,>1}\) 的位置都是 \(0\)，立得

\[\mathbb P(M_{1,1}\neq 0)=\mathbb P(C_{1,1}\neq 0)\cdot \mathbb P(R_{1,1}\neq 0) \]

分别考虑两部分：

• 对于 \(C\) 来说第一行是任意的非零向量，从而
  \[\mathbb P(C_{1,1}\neq 0)=\dfrac{p^n-p^{n-1}}{p^n-1} \]

• 对于 \(R\) 来说可以考虑计算 \(R_{1,1}=0\) 的方案数，此时每个向量的第一位都为 \(0\) 于是相当于数 \(k\times(m-1)\) 的秩为 \(k\) 的滚木数量，那么就是
  \[\mathbb P(R_{1,1}\neq 0)=1-\dfrac{{m-1\brack k}_p}{{m\brack k}_p}=\dfrac{p^m-p^{m-k}}{p^m-1} \]

然后拼一拼就知道答案了，不详细写了 .