2025.2.14 闲话

2.14！

问题：计算完全二分图 \(K_{n,m}\) 的生成树个数 .

首先直接考虑对树结构做，相当于计数 \(n\) 个黑点、\(m\) 个白点的无根树，要求黑白不能相邻 .

然后和洞察其实差不多了：可以考虑算有根树的方案数，\(x,y\) 分别计量两种颜色的点数，令 \(B,W\) 分别是以黑 / 白点为根的方案数对应的二元生成函数，则：

\[\begin{aligned}&B=x\exp W\\&W=y\exp B\end{aligned} \]

欲求 \(\left[\dfrac{x^ny^m}{n!m!}\right](B+W)\)，用多元 Lagrange 反演：

\[\begin{aligned}\left[\dfrac{x^ny^m}{n!m!}\right](B+W)&=\left[\dfrac{x^ny^m}{n!m!}\right](x+y)(\mathrm e^y)^n(\mathrm e^x)^m(1-xy)\\&=\left[\dfrac{x^ny^m}{n!m!}\right](x+y-x^2y-xy^2)\mathrm e^{ny+mx}\\&=m^{n-1}n^{m+1}+m^{n+1}n^{m-1}-(n-1)m^{n-1}n^m-(m-1)m^nn^{m-1}\\&=m^{n-1}n^{m-1}(n^2+m^2-n(n-1)-m(m-1))\\&=(n+m)m^{n-1}n^{m-1}\end{aligned} \]

然而由于需要转化为无根树所以答案需要除以 \(n+m\)，从而得到答案：\(m^{n-1}n^{m-1}\) . 这和 APJ 的结果是一致的 .

施。―关于多元的拉反―