2024.3.7 闲话

省选结果出了，祝贺大家进队 .

ATRI 确实不错 .

语文不好，没什么可说的（了） . 不过至少可以证明我离开语气词还是可以说话的 .

歌：現実みろ - 香橼 .

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有一个神秘的数 \(p\)，现在知道 \(n\) 和 \(n\) 模 \(p\) 意义下的逆元 \(I\)，对于正整数 \(k\) 求 \(n\) 模 \(p^k\) 意义下的逆元 .

Solution：

只需要分别计算 \(n\) 模 \(p^2\) 和 \(p^3\) 意义下的逆元然后拼即可，根据小凯的疑惑的结论可以知道可以拼出任何指数 .

Part 1 计算 \(n\) 模 \(p^2\) 意义下的逆元 .

根据定义存在整数 \(t\) 使得 \(nI=pt+1\)，则：

\[nI(2-nI)=(pt+1)(1-pt)=1-t^2p^2\equiv1\pmod{p^2} \]

也即 \(I(2-nI)\) 即为 \(n\) 模 \(p^2\) 意义下的逆元 .

Part 2 计算 \(n\) 模 \(p^3\) 意义下的逆元 .

也是一样的，存在整数 \(t\) 使得 \(nI=pt+1\)，则：

\[nI(1-(nI-1)(2-nI))=(pt+1)(1-pt+p^2t^2)=1+t^3p^3\equiv1\pmod{p^3} \]

也即 \(I(1-(nI-1)(2-nI))\) 即为 \(n\) 模 \(p^3\) 意义下的逆元 .

那么这个题就做完了 .

不过好像还是没有什么用的东西 .