2023.9.10 闲话

推歌：

• リアライズ - 柊マグネタイト feat. 初音ミク .
• Summoning 101 - Mili .

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我感觉杜教筛型递推大体已经被解明了：

\[f(n)=a_n-\sum_{i=2}^nz(i)\cdot f\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right) \]

等价于：

\[\sum_{i=1}^nz(i)\cdot f\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right)=a_n\text{ where }z(1)=1 \]

那么反演即得：

\[f(n)=\sum_{i=1}^nz^{-1}(i)a_{\lfloor\frac ni\rfloor} \]

这里 \(z^{-1}\) 是 \(z\) 的 Dirichlet 卷积逆，差分后 Dirichlet 前缀和，\(\Theta(n^{2/3}\log\log n)\) .

这种平衡思想可能也比较被人熟知 . 总之，一些题目：

• LOJ #6627 等比数列三角形 .
• 洛谷 P9511 大豆 .
• CF1801F Another n-dimensional chocolate bar .
• NOI2016 循环之美 .
• LOJ #6222 幂数 ！（加强版） .

顺序随机排列 .

不过差分后应该可以成为块筛卷积形式，有很多方法是比杜教筛快的 .

关于别的形式的整除分块能不能反演，有广义反演定理：

广义反演定理

对于数论函数 \(\alpha*\beta=1\) 和完全积性函数 \(z\)，和两个在 \(\R_{\ge 1}\) 上有定义的函数 \(F,G\)，有：

\[G(n)=\sum_{i=1}^{\lfloor n\rfloor}z(i)\alpha(i)F\left(\dfrac ni\right)\iff F(n)=\sum_{i=1}^{\lfloor n\rfloor}z(i)\beta(i)G\left(\dfrac ni\right) \]

可以参考 .

不过相对来说 min25 筛型递推应当更实用一点吧，不过我还不怎么会 min25 筛，如果有机会的话我还是很希望了解的 .

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刚学整除的 MO 舍友的题：对于奇数 \(k\)，证明 \(1^k+2^k+\cdots+n^k\) 不被 \(n+2\) 整除 .

可以看看，并不是很难 .