2022.12.22 Flower

joke3579 说喜欢一等到底，不知道有嘛病 .

Cendrillon is always here

令 \(f(n)\) 表示将 \(n\) 分解成 \(n=ab\) 的方案数，其中 \(a,b\) 都是 square-free number .

求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^nf(i)\) .

\(1\le n\le 10^{11}\) .

\[\begin{aligned}\sum_{i=1}^nf(i)&=\sum_{i=1}^n(\mu^2*\mu^2)(i)\\&=\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid i}\mu^2(d)\mu^2\left(\dfrac id\right)\\&=\sum_{i=1}^n\mu^2(i)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac ni\rfloor}\mu^2(j)\end{aligned} \]

\(\mu^2\) 的前缀和可以 \(\Theta(\sqrt n)\)，具体是 joke3579 闲话 .

然后套整除分块，根据杨卓凡第一小定理是 \(\Theta(n^{2/3})\)，可以通过 .