如何计算 LIS

LIS，即最长上升子序列 .

基于 DP 的做法

令 \(dp_i\) 表示以 \(i\) 结尾的 LIS 长度，则有

\[dp_i=1+\max_{\substack{j<i\cr a_j<a_i}}\{dp_j\} \]

可以直接暴力转移，于是答案就是 \(\displaystyle\max_{i\in[1,n]}dp_i\) .

时间复杂度 \(O(n^2)\) .

优化方法（均为 \(O(n\log n)\)）：

• 线段树优化：直接线段树优化取 max .
• ST 表优化：只有最后加一个数，所以 ST 表的倍增数组只用修改 log 个 .
• 树状数组优化：因为只有最后加一个数和后缀 max，所以可以树状数组 .

代码非常平凡，略（外链：link）

贪心

扫一遍，考虑维护两个东西，\(ans,len\)，分别表示目前的 LIS 和以目前端点为结尾的 LIS，同时维护目前的 LIS 数组 .

于是每次加一个数，如果更优直接加进去，否则修改原 LIS 数组修改 \(len\)，这样 \(ans\) 永远最优 .

时间复杂度 \(O(n\log n)\) .

可能比较魔幻，感性理解吧，，

核心代码，来自 Eafoo .

int main() {
    int n = read();
    for (int i = 1; i <= n; ++i) num[i] = read(), lis[i] = -inf;
    int tot = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (num[i] >= lis[tot]) lis[++tot] = num[i];
        else *upper_bound(lis + 1, lis + tot + 1, num[i]) = num[i];
    }
    printf("%d\n", tot);
}