P1514 [NOIP 2010 提高组] 引水入城 笔记

前言

本蒟蒻刷题时看到 dalao 的题解，思考 114514 秒后才得出答案，因此写下如下见解，希望能帮到大家。

原题解链接

• 使用AI优化，原文难看的要死

题目简介

MC版

你有一个空间，可以在最上面一行放水，水会顺着方块往低处流。
问：下面的地能不能全被水铺满？
如果不能，那就没辙了，顺便数数还有几块地是干的。
如果能，由于你是恒大集团的一员，要尽可能地节省经费，求最少放几个水源。
每个格子上的数字，就是那地方堆了几个方块（高度）。

普通版

给定一个 \(n \times m\) 的矩形，每个格子有一个高度。
你可以在第一行的任意多个格子放水，水会从高处往低处流（只能流到相邻且高度严格更低的格子）。
问：

1. 能否让最后一行的每个格子都有水流到？如果不能，输出无解，并给出最后一行有多少格子没有水；
2. 如果能，最少需要在第一行放几个水源，才能使最后一行全部有水。

正文

无解的情况好判断：从第一行每个格子往里灌，搜一遍标记能到的格子，最后一行要是还有没被标记的，那就是无解，答案就是没标记的格子数。这部分没什么好说的。

剩下是有解的情况。有解的时候，一条水流到最后一行的覆盖一定是一段连续的区间，不会中间断一截。为什么呢？

假设一条水流分叉了，中间空出一块蓝色区域。既然题目要求最后一行全都有水，那这块蓝色区域迟早也得被水填上吧？那填它的那滴水是从哪来的？它总得从上面流下来，而流下来的路上，必然要跟原来那条水流碰头。一碰头，两条水流在最后一行就连成一片了，中间那截空洞根本留不下来。

• 注：此为原题解内的图片，借用致歉，侵私删。

既然蓝色区域有水流过去，就肯定会有一条水流流进蓝色区域。

为什么？上面不解释了吗你还问

• 注：此为原题解内的图片，借用致歉，侵私删。

那为什么不能是下面这种情况呢？

• 注：此为自己手绘，画风不一样致歉。

因为这样就跟上面的水流矛盾了。

为什么？上面的水流就应该是如图，所以举一反三，压根不存在如上的水流。

说白了，有解的情况下不可能留一块没水过去的蓝色区域，因为题目要求最后一行必须全部有水。所以水流只能是下面这样：

• 注：此为原题解内的图片，借用致歉，侵私删。

想通这一点，问题就变成：每个第一行的格子，灌下去之后能覆盖最后一行的一段区间 \([l_i, r_i]\)，现在要用最少的区间把 \([1, m]\) 整段盖满。

这就是个很经典的区间覆盖贪心。从 left = 1 开始，在所有左端点不超过 left 的区间里，挑右端点最远的那个，把覆盖推到 right，然后 left = right + 1，接着往下找，直到盖完。为什么这么挑一定最优？因为当前这个 left 总得有人盖，而能盖到它的区间里，右端点伸得越远，后面就越省事，所以选最远的不会亏。

举个例子，最后一行 5 格，三个起点的区间是 \([1,2]\)、\([2,4]\)、\([4,5]\)。从 left = 1 开始，能盖住 1 的只有 \([1,2]\)，推到 2；left = 3，能盖住 3 的是 \([2,4]\)，推到 4；left = 5，用 \([4,5]\) 收尾。一共 3 个起点，刚刚好。

实现上就是 DFS 从第一行每个点往下搜，一边标记 vis，一边用 l[x][y]、r[x][y] 记下这个点能到最后一行的最左、最右位置，最后一行的格子初始化为 l = r = j。有个容易写错的地方：某个格子就算已经访问过了，l、r 也还是要更新的，因为从别的路过来可能拿到更优的端点，只是不用再往下递归了。最后先判无解，有解再按上面的贪心数区间就行。

实现

在最后一行贪心：从 \((n,1)\) 开始，不断寻找左端点落在上一个右端点之内、且右端点最远的区间，统计所需区间数即为答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
int n,m;
int dx[]={-1,0,1,0};
int dy[]={0,1,0,-1};//写BFS的时候你应该用过的方向数组
bool vis[N][N];
int a[N][N],l[N][N],r[N][N];//a是输入的海拔，l r是区间
void dfs(int x,int y)
{
    vis[x][y]=1;
    for(int _=0;_<4;_++)//4是上下左右四个方向
    {
        int xx=x+dx[_],yy=y+dy[_];//计算现在的点的上下左右
        if(xx<1||xx>n||yy<1||yy>m||a[x][y]<=a[xx][yy])continue;
        if(!vis[xx][yy])dfs(xx,yy);
        l[x][y]=min(l[x][y],l[xx][yy]);
        r[x][y]=max(r[x][y],r[xx][yy]);//更新区间
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(l,21e6,sizeof(l));
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        cin>>a[i][j];
        if(i==n)l[i][j]=r[i][j]=j;//初始化区间(开局每个点的区间就是它自己)
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)if(!vis[1][i])dfs(1,i);//从最底层开始向上dfs
    bool b=1;
    int ans=0;//最底层还没有水的节点的数量
    for(int i=1;i<=m;i++)if(!vis[n][i]){b=0;ans++;}//最底层有点没有被访问到，说明有点无法流入水中
    if(!b)
    {
        cout<<"0\n"<<ans;//遗憾退场
        return 0;
    }
    int ll=1,rr=r[1][1];//ll是最左边的点，rr是最右边的点
    while(ll<=m)
    {
        for(int i=1;i<=m;i++)if(l[1][i]<=ll)rr=max(rr,r[1][i]);//如果这个点的左边界小于等于ll，那么就可以更新rr
        ll=rr+1;//更新ll
        ans++;
    }
    cout<<"1\n"<<ans;//成功
    return 0;//好习惯
}
//自己写了半天不是AI

⚠️注意⚠️

如果你TLE：看看你的dfs调用是不是写反了
如果你ans虚高：注意一下累加ans的代码
如果你只获得了60分：在处理区间时的while是<=并非<