CF Graphs

CF746G New Roads

构造题。
显然优先满足强制叶子节点的限制，设第 \(i\) 层叶节点数 \(b_i\) 。考虑到 \(a_i>a_{i+1}\) 则必有第 \(i\) 层 \(b_i\leftarrow a_i-a_{i+1}\) 个点强制为叶子节点，钦定叶子节点后 \(a_i\leftarrow a_i-b_i, k\leftarrow k -\sum{}^{} b_i\) ，显然序列 \(a\) 为单调不降序列。
此时还需钦定 \(k\) 个叶节点，第 \(i\) 层仍有 \(a_i\) 个节点状态待定，我们只需从 \(\sum_{}^{} a_i\) 个待定节点选取 \(k\) 个作为叶节点即可。
时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)
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CF59E Shortest Path

有限制的最短路。
给定有序三元组 \(a,b,c\) 限制不能连续经过，边权为 \(1\) ，求最短路，\(n\le 3000,m\le 2e4,k\le 1e5\)。
看到 \(n\le 3e3\) ，回忆CSP-S2022 T1，搜索BFS即可。 \(dis_{i,j}\) 表示对于 \(i\) 点的上一个点为 \(j\) 的最短路长度，\(set\) 哈希维护不可经过的有序三元组。
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CF909E Coprocessor

DAG刷表题。
\(dis_i\) 表示当前点 \(i\) 需要 \(dis_i\) 次统一副机
对于每条由副机到主机的线路 \(S~T\) ， \(dis_T\leftarrow max(dis_T, dis_S+1)\) （需要先启动主机再动副机，次数+1）。
对于每条其他线路， \(dis_T\leftarrow max(dis_T, dis_S)\) 。
答案为副机dis最大值： \(ans\leftarrow max(dis_i)\land a_i=1\)
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CF467D Fedor and Essay

恶心Tarjan缩点+DAG+字符串预处理———杂糅题
首先将每一个小写相同的字符串视为一个点，记字符 \(r\) 个数为 \(r_i\) ,长度为 \(l_i\) ，对于 \(x,y\) 反向建有向边，这样可以直接 \(x\stackrel{upd}{\leftarrow} y\) 。注意到转换操作可能存在环，Tarjan缩点合并 \(l_i,r_i\) 即可
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CF242D Dispute

贪心题，套图论的羊皮。
将有效点击分为主动和被动，注意到同时主动点击和先后主动点击但单点只点一次等价。
记 \(cur_i\) 为当前两种点击总次数，\(vis_i\) 为是否曾主动点击。
优先队列维护当前 \(a_i=cur_i\) 的点，每次弹出 \(a_i\) 最小的点并更新（主动点击）即可，若 \(vis_i=1\) 则需更新 \(2\) 次而无解。
正确性：注意到优先保证 \(a_i\) 较小的点消除了后效性，且原题只要求输出可行而非最优方案。
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CF229C Triangles

计数+思维题。定义“三角形”为图上长度为 \(3\) 的环。
整难则反，原图“三角形”数： \(tot=n*(n-1)*(n-2)/6\) ，可以观察到初始删一条扣除贡献为 \(n-2\) 。然后笔者感觉不好做了， \(\mathcal{O}(n^3)\) 容斥TLE
考虑稍稍转化题意：完全图 \(U\) 初始全为黑边，将 \(m\) 条边变为白边得到 \(U'\) ，求图 \(U'\) 纯色“三角形”个数（三边同色）。
\(U'\) 中“三角形”形态存在 \(4\) 种，只需求出“\(2\)黑\(1\)白”与“\(2\)白\(1\)黑”即可得到“纯色”。可以观察得到性质：三角形“杂色”当且仅当 \(2\) 个顶点连边“\(1\)黑\(1\)白”。
设 \(a_i\)为节点 \(i\) 的白边数，则节点 \(i\) 的“\(1\)黑\(1\)白”对数为 \(a_i*(n-a_i-1)\) ，由性质有“杂色三角形”总数： \(\frac{\sum a_i*(n-a_i-1)}{2}\) ，容斥答案： \(ans=tot-\frac{\sum a_i*(n-a_i-1)}{2}\) 。
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CF912D Fishes

期望最大化题。BFS属于是凑数。
考虑每个单元格对全局期望的贡献，选择前 \(k\) 大单元格即可。
给出式子：
总渔网可能方案数： \(tot=(n-r+1)*(m-r+1)\)
格子 \((x,y)\) 贡献期望： \(val_i=(min(x+r-1,n)-max(x,r)+1)*(min(y+r-1,m)-max(y,r)+1)*1.0\)
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CF875C National Property

2-SAT。
考虑相邻串 \(A\) 与 \(B\) 在 \(A_i,B_i\) 不相等（字典序必须存在差异）。根据 \(A_i,B_i\) 大小得到 \(A_i,B_i\) 取 \(A_i',B_i'\) 的约束关系，\(2-SAT/Tarjan\) 即可。
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CF666B World Tour

Meet in the Middle+最短路。
\(\mathcal{O}(n^2)\) 预处理正反全源最短路， \(f[u][0\sim 2][0/1]/pt[u][0\sim 2][0/1]\) 记录 \(u\) 源点的前 \(3\) 长路径长度与终点。
枚举中间节点 \(B,C\) ，根据前 \(3\) 优解：由 \(B\) 反向枚举 \(A\) ，由 \(C\) 正向枚举 \(D\) 。时间复杂度 \(\mathcal{O}(N^2)\)
本题与笔者第一道CCF赛时真题CSP-S2022 T1 假期计划非常相似———图论结构，利用Meet in the Middle降低时间复杂度，枚举较优解;唯一区别在于对边权或点权处理。
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CF840B Leha and another game about graph

奇偶特殊性题，连通图。
笔者第一次思考时，考虑将奇偶点尽可能化为无限制点，苦于1.贪心策略无法证明，2.全为奇偶点无法处理。
设白为 \(0\) ，黑为 \(1\) 。
首先考虑连边对点的度数改变情况：翻转两点的奇偶。更进一步，边对点的改变可以表示为： \(u,v\) 点 \(u\) 加上点 \(v\) 奇偶性，点 \(v\) 置为 \(0\) ，理解：同色相连全置为 \(0\) ，异色相连白置 \(1\) 黑置 \(0\) 。
有一个比较妙的性质：可以匹配当且仅当奇点个数为奇。很好理解：连边只有两端为黑才会 \(-2\) ，奇数奇点无法清零。
由性质可以用 \(-1\) 满足“奇数奇点”化为“偶数奇点”，无法满足即无解。
然后任选一个根节点，生成任意原图生成树， \(dfs\) 遍历回溯时 异色连边 并 根据子树连边改变自身节点度数 即可。
CF Official Editorial
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CF1037E Trips

倒推题。
处理出最终状态，由不满足要求的枝端节点开始删边，注意标记一条边只可被删一次就无效。
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CF936B Sleepy Game

记搜+判环题。
\(vis[i][0/1]\) 记录是否奇偶数步可达，最后Tarjan判环即可。
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CF920E Connected Components?

BruteForce!
先将每个点丢入set，按顺序取出点进行操作。
对于从set中取出的每个点 \(u\) ，我们要排出 \(u\) 所在连通分量的所有点。
queue循环找同一连通分量的点。遍历目前仍在set中的所有点，若无删边相连则说明在同一连通分量，将这一点放入queue;执行遍历直至更新出所有同一连通分量的点并从set中移除。
Why do you use set?---\(\mathcal{O}(nlogn)\)
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    for(ll i = 1; i <= n ; i++) w.insert(i);
    while(w.size()){
	it = w.begin();
	ll x = *it; it = w.erase(it);
	++tot, cnt[tot]++;
		
	queue<ll> q;
	q.push(x);
	while(!q.empty()){
	    ll u = q.front(); q.pop();
	    for(it = w.begin(); it != w.end(); )
	    if(e[u].count(*it)) ++it;
	    else cnt[tot]++, q.push((*it)), it=w.erase(it);
	}
    }

CF33D Knights

隐式图、建图。
由于圆不相交，只需将大圆包含小圆看作树上父子节点即可。 \(LCA\) 路径长即为答案。
注意处理根节点为最外侧一个极大的虚拟圆，包含关系特判极大值即可。
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CF545E Paths and Trees

最短路，最小生成树。
给定源点，求最小权最短路径生成树。
显然对于每一个非源点，确定父边（父节点入边）即可确定树的形态。 \(SPFA\)时选择每个非源点的权值最小的最短路径入边 即为答案。
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CF1280C Jeremy Bearimy

贪心？
每个点必须匹配——— \(p*2\) 。
对于点u的父边（向上连边）：
最小值：最优为点对尽可能在子树内，最坏有子树奇数个点，贡献为 \(w\)。
最大值：最优为点对尽可能跨过这条边，最坏有 \(min(siz_u, n-siz_u)\) 个点对，贡献为 \(min(siz_u, n-siz_u)*w\) 。
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CF949C Data Center Maintenance

Tarjan缩点。
将“若 \(A\) 推迟，则 \(B\) 必须推迟”看作 \(A\rightarrow B\) 的一条有向边。
注意到有向图单一强连通分量必须同步改变，也可能使其他分量改变。因此缩点后得到DAG上出度为 \(0\) 的点 \(siz\) 最小者为答案。
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CF533B Work Group

树形DP。
\(f[i][0/1]\) 表示 \(u\) 子树内选奇数/偶数个点的最值。每个点初始化 \(f[u][0]=0,f[u][1]=-inf\) ， \(f[u][1]\)最初非法。
状态转移方程：

    f[u][0] = 0, f[u][1] = -inf;//f[u][1] is illegal at first
    for(auto v : e[u]){
        dfs(v);  ll x0 = f[u][0], x1 = f[u][1];
        f[u][0] = max(x0 + f[v][0], x1 + f[v][1]);
        f[u][1] = max(x1 + f[v][0], x0 + f[v][1]);
    }
    f[u][1] = max(f[u][1], f[u][0] + v[u]);

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CF609E Minimum spanning tree for each edge

最小生成树。
对于边 \(e\) 。若在最小生成树上，最小生成树权值即为答案。否则找到MST树上 \(u,v\) 两点路径上边权最大值替换即可———可以用倍增维护 \(LCA\) 与 \(Maxval\)
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CF1067B Multihedgehog

BFS?DFS?
笔者最初考虑以树的重心作为根节点，然而WA，该猜想目前没有甚么证明。
考虑从每个叶子节点BFS，最后得到根节点。然后DFS判断每个节点的子节点出度是否 \(\ge 3\) 即可。
正确性：对于一个合法图， \(BFS-dep/DFS-degree\) 得到结果一定正确。
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