[正睿集训2021] LIS

一、题目

点此看题

二、解法

设 \(dp[i]\) 为到 \(i\) 的最大长度，那么当 \(a_j\times x_i+b_j\geq y_i\) 可以转移：

\[dp[i]=dp[j]+1 \]

这个题没有掩饰啊，直接就把一次函数甩给你了，摆明了就是要让你用李超树。具体来说转移 \(i\) 的时候有 \([1,i)\) 这些线段，\(x_i\leq300000\) 说明它可以作为李超树的下标。

但是李超树不是只能解决一次函数的最值吗？怎么又和不等式扯上关系的？我们可以二分答案 \(x\) ，那么对于 \(dp\) 值在 \([x,n]\) 的线段都是可以用的，我们求出他在 \(x_i\) 的最值是否大于 \(y\) 即可。

但是要保留 \([x,n]\) 的线段并不是很容易，我们可以使用树套树来解决这个问题，也就是外层线段树，内层李超树，李超树要动态开点，那么我们在线段树上二分就行了，由于李超树是全局线段所以复杂度是一个 \(\log\)

那么时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)，空间复杂度 \(O(n\log n)\) ，看起来很好写是吧。

但是我的答案输出成了 \(dp[n]\) ，实际上应该是 \(\max_{i=1}^n dp[i]\)，老子调了好久，\(\tt cnm\) 的 \(\tt sb\) 题。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 150005;
const int N = 50*M;
const int up = 300000;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int T,n,cnt,ans,a[M],b[M],x[M],y[M],dp[M],rt[4*M],ls[N],rs[N];
struct node
{
	int k,b;
	node(int K=0,int B=-inf) : k(K) , b(B) {}
	void clear() {k=0;b=-inf;}
	int ask(int x)
	{
		return x*k+b;
	}
}tr[N];
void upd(int &i,int l,int r,node x)
{
	if(!i)
	{
		i=++cnt;
		ls[i]=rs[i]=0;tr[i].clear(); 
	} 
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x.ask(mid)>tr[i].ask(mid))
	{
		if(x.ask(l)<tr[i].ask(l)) upd(ls[i],l,mid,tr[i]);
		if(x.ask(r)<tr[i].ask(r)) upd(rs[i],mid+1,r,tr[i]);
		tr[i]=x;
	}
	if(x.ask(mid)<tr[i].ask(mid))
	{
		if(x.ask(l)>tr[i].ask(l)) upd(ls[i],l,mid,x);
		if(x.ask(r)>tr[i].ask(r)) upd(rs[i],mid+1,r,x);
	}
}
int ask(int i,int l,int r,int x)
{
	if(!i) return -inf;
	int mid=(l+r)>>1,res=tr[i].ask(x);
	if(l==r) return res;
	if(mid>=x) return max(ask(ls[i],l,mid,x),res);
	return max(ask(rs[i],mid+1,r,x),res);
}
void ins(int i,int l,int r,int id,node x)
{
	upd(rt[i],0,up,x);
	if(l==r) return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(mid>=id) ins(i<<1,l,mid,id,x);
	else ins(i<<1|1,mid+1,r,id,x);
}
int solve(int i,int l,int r,int x,int y) 
{
	if(ask(rt[i],0,up,x)<y)
		return 0;
	if(l==r) return l;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(ask(rt[i<<1|1],0,up,x)>=y)
		return solve(i<<1|1,mid+1,r,x,y);
	if(ask(rt[i<<1],0,up,x)>=y) 
		return solve(i<<1,l,mid,x,y);
}
signed main()
{
	T=read();
	while(T--)
	{
		n=read();cnt=ans=0;//nmsl
		for(int i=1;i<=4*n;i++) rt[i]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			a[i]=read();b[i]=read();
			x[i]=read();y[i]=read();
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			dp[i]=solve(1,1,n,x[i],y[i])+1;
			ins(1,1,n,dp[i],node(a[i],b[i]));
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
			ans=max(ans,dp[i]);
		printf("%lld\n",ans);
	}
}