你的解析几何为什么算不对？——比对系数的方法

你的解析几何为什么算不对？——比对系数的方法

本文要讨论的只是 化简、计算 的技巧。题目条件的 翻译不在讨论的范围内。笔者的计算原本是大弱项，经过一个月的练习终于变得比较熟练了，这里写一下自己的计算技巧。

所谓的硬解定理——还真的不背不行：

对椭圆：

\[分母/常数\sim a^2k^2+b^2 \\ s_x=x_1+x_2 \sim -2a^2km \\ t_x=x_1x_2 \sim a^2(m^2-b^2) \\ s_y=y_1+y_2 \sim 2b^2m \\ t_y=y_1y_2\sim b^2(m^2-a^2k^2) \\ s_{xy}=x_1y_2+x_2y_1 \sim -2a^2b^2k \\ \Delta \sim 4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2) \]

如果换成了双曲线，把上面的每一个 b^2 换成 -b^2 就好了。

比对系数化简对称式——广州一模：

我们取广州一模的T18为例子，硬算不难在比较快的时间内得到这个韦达：

\[k_1+k_2=\frac{2xy}{x^2-r^2} \\ k_1k_2=\frac{y^2-r^2}{x^2-r^2} \]

然后很快可以得到这个式子：

\[k_{MN}=\frac{\frac{6k_1x-yk_1^2-3y}{k_1^2-3}-\frac{6k_2x-yk_2^2-3y}{k_2^2-3}}{\frac{k_1^2x+3x-2k_1y}{k_1^2-3}-\frac{k_2^2x+3x-2k_2y}{k_2^2-3}}=\frac{(6k_1x-yk_1^2-3y)(k_2^2-3)-(6k_2x-yk_2^2-3y)(k_1^2-3)}{(k_1^2x+3x-2k_1y)(k_2^2-3)-(k_2^2x+3x-2k_2y)(k_1^2-3)} \]

大多数人在这里会算错或者算的很慢。但观察到这个式子的对称性，我们可以通分之后直接 比较系数。我们先说操作，再说原理。

只要设

\[k_{MN}=\frac{(k_1-k_2)(Ak_1k_2+B(k_1+k_2)+C)}{(k_1-k_2)(Dk_1k_2+E(k_1+k_2)+F)} \]

比对系数比直接爆算又快又准确：

\[A=分子k_1^2k_2的系数=-6x \\B=分子k_1^2的系数=6y \\C=分子k_1的系数=-18x \\D=分母k_1^2k_2的系数=2y \\E=分母k_1^2的系数=-6x \\F=分母k_1的系数=6y \]

化简结果对称之后就很好算了：

\[k_{MN}=\frac{-6xk_1k_2+6y(k_1+k_2)-18x}{2yk_1k_2-6x(k_1+k_2)+6y}=\frac{3x(3-4r^2)}{y(3+4r^2)} \]

为什么能这么算？

取分子为例子，

\[(6k_1x-yk_1^2-3y)(k_2^2-3)-(6k_2x-yk_2^2-3y)(k_1^2-3) \]

这是一个很对称的式子：

1. 当k1=k2，分子=0
2. 当k1和k2互换，分子的正负相反。

第一个信息告诉我们分子含有因式

\[(k_1-k_2) \]

第二个信息则告诉我们：

\[分子=(k_1-k_2)(关于k_1和k_2的对称式) \]

实际上二元的对称式只能由 k1k2 和 (k1+k2) 及其幂次组成。观察系数就可以设：

\[分子=(k_1-k_2)(Ak_1k_2+B(k_1+k_2)+C) \]

然后就很好做了。

另一个例子：

\[\Gamma:y^2=2x，过点(1,0)的直线l交\Gamma于点A,B，O为\triangle ABC的重心，AC,BC交y轴于点M,N。求S_{MCN}:S_{AOB}的取值范围？ \]

中间的过程涉及到一步是化简：

\[\frac{2y_1-2t}{ty_1+2t^2+3}-\frac{2y_2-2t}{ty_2+2t^2+3}=\frac{(2y_1-2t)(ty_2+2t^2+3)-(2y_2-2t)(ty_1+2t^2+3)}{t^2y_1y_2+t(2t^2+3)(y_1+y_2)+(2t^2+3)^2} \]

同样的设分子

\[分子=(y_1-y_2)(对称式) \]

比较系数注意到这个对称式实际上就是常数 6(t^2+1)

\[分子=(y_1-y_2)(6(t^2+1)) \]

即使是单变量也可以比对系数：

单变量的比对系数就是对着次数填系数而已，也很简单。但就这么一个小小的改变就足够大大地优化计算了。

比如：

\[\Gamma:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,点F(1,0),点A(-2,0)，过F的直线l交\Gamma于点D,E。l_{AD}和l_{AE}交x=4于点M,N。求MF^2+NF^2的表达式？ \]

设

\[l:x=ty+1 \]

直接代入“硬解定理”：

\[分母/常数\sim 3t^2+4 \\ x_1+x_2 \sim 8 \\ x_1x_2 \sim 4(1-3k^2) \\ y_1+y_2 \sim -6k \\ y_1y_2\sim -9 \\ x_1y_2+x_2y_1 \sim -24k \\ \Delta \sim 144(k^2+1) \]

列两点式和交点就可以秒出：

\[M(4,\frac{6y_1}{x_1+2})\\ N(4,\frac{6y_2}{x_2+2}) \]

接下来就是要化简：

\[\frac{y_1}{x_1+2}+\frac{y_2}{x_2+2}=\frac{s_{xy}^2-2t_xt_y+4s_y^2-8t_y+4s_{xy}s_y-4t_ys_x}{(t_x+2s_x+4)^2} \\=\frac{(-24t)^2-2*4(1-3t^2)(-9)+4(-6t)^2-8*(-9)(3t^2+4)+4(-24t)(-6t)-4(-9)8}{36^2} \\=\frac{At^2+B}{36^2} \]

比较系数可得

\[A=24^2+8*3*9+4*6^2+72*3+4*24*6=36^2\\B=8*9+72*4+72*4=36*18 \]

化简得

\[\frac{y_1}{x_1+2}+\frac{y_2}{x_2+2}=t^2+\frac{1}{2} \]

\[MF^2+NF^2=18+36(t^2+\frac{1}{2})=36(t^2+1) \]

p.s.列两点式的小技巧：

已知两点

\[A(x_1,y_1)\\B(x_2,y_2) \]

\[l_{AB}:(x_1-x_2)y-(y_1-y_2)x=\left | \begin{matrix} x_1 &y_1\\ x_2 &y_2 \\ \end{matrix} \right | =x_1y_2-y_1x_2 \]

就可以秒出。