初探整体二分
提示：建议开启深色模式。
引入
给定一个序列，要求他的全局第 \(k\) 小，那么可以使用离散化 + 桶然后二分答案就可以求出。但是如果查询区间 \([l,r]\) 的第 \(k\) 小，查询的次数变多，那么解决问题的时间复杂度就变成了 \(O(qn)\)，这样显然是会 TLE 的。
对于多次询问，我们发现很多的询问会调用到同一个区间，得到的也是同一个答案。既然如此，我们就考虑将所有的问题集中考虑，这些重复的调用就可以规避掉。
简单介绍
原理解析
下面给定一个序列
\[S = [1,9,1,9,8,1,0]
\]
然后我们需要查询区间第 \(k\) 小
\[Q_1 = [1,7];k_1 = 5\\
Q_2 = [2,5];k_2 = 2\\
Q_3 = [4,7];k_3 = 2
\]
这里以 \(Q_1 = [1,7];k_1 = 5\) 为例！
-
对于值域 \([0,9]\)，先二分求得 \(mid = 4\)，左区间为 \([0,4]\)，右区间为 \([5,9]\)。树状数组维护的是当前值域左半边（即数值 \(\le mid\)），求得下标在 \([1,7]\) 中，值域为 \([0,4]\) 的数的个数为 \(4\)，小于当前的 \(k\)，说明 \(Q_1\) 的答案在值域 \([5,9]\) 中。
询问就变成了
\[Q_1' = [5,9];k_1' = 5-4 = 1 \] -
对于值域 \([5,9]\)，先二分求得 \(mid = 7\)，左区间为 \([5,7]\)，右区间为 \([8,9]\)。使用树状数组查询下标在 \([1,7]\) 中，值域为 \([5,7]\) 的数的个数为 \(0\)，小于当前的 \(k\)，说明 \(Q_1'\) 的答案在值域 \([8,9]\) 中。
询问就变成了
\[Q_1'' = [8,9]; k_1'' = 1-0 = 1 \] -
对于值域 \([8,9]\)，先二分求得 \(mid = 8\)，左区间为 \([8,8]\)，右区间为 \([9,9]\)。使用树状数组查询下标在 \([1,7]\) 中，值域在 \([8,8]\) 的数的个数为 \(1\)，大于等于当前的 \(k\) 说明 \(Q_1''\) 的答案在值域 \([8,8]\) 中。
询问就变成了
\[Q_1''' = [8,8]; k_1''' = 1 \] -
现在的询问，它的左端点和右端点相等了，说明询问的答案就是当前的左端点，此时返回答案为 \(8\)
同样的，我们可以画出 \(Q_2\) 的图示。
代码
int n, m;
int a[MAXN], num[MAXN], ch[MAXN];
int ans[MAXM];
struct Opt { // 使用结构体来存储操作
int type, l, r, k, id; // 当 type 为 0 是插入操作，1 为查询操作
} opt[MAXN + MAXM], p1[MAXN + MAXM], p2[MAXN + MAXM];
// l,r 表示操作的下标，L,R 表示查询操作的答案范围值域
void solve(int l, int r, int L, int R) {
if (l > r || L > R) return; // 越界跳过
if (L == R) { // 左右端点重合，得到答案
for (int i = l; i <= r; i++)
if (opt[i].type) ans[opt[i].id] = L;
return;
}
int mid = L + R >> 1, cur = 0; // cur 表示撤销 BIT 中的记录
int cnt1 = 0, cnt2 = 0; // p1 和 p2 的计数器
for (int i = l; i <= r; i++) {
if (opt[i].type == 0) { // 如果此时的操作是插入数值的操作
if (opt[i].k <= mid) {
bit.add(opt[i].id, 1); // 树状数组对应位置 +1
ch[++cur] = opt[i].id; // 记录，方便撤销操作
p1[++cnt1] = opt[i]; // 将操作分到左区间
} else p2[++cnt2] = opt[i]; // 将操作分到右区间
} else {
int tmp = bit.query(opt[i].r) - bit.query(opt[i].l - 1); // 查询 [l,mid] 中的数的个数
if (opt[i].k <= tmp) p1[++cnt1] = opt[i]; // 将操作分到左区间
else {
opt[i].k -= tmp; // 记得将查询的 k 更新
p2[++cnt2] = opt[i]; // 将操作分到右区间
}
}
}
for (int i = 1; i <= cur; i++) bit.add(ch[i], -1); // 撤销树状数组的更改
for (int i = 1; i <= cnt1; i++) opt[l + i - 1] = p1[i]; // 将答案值域在左区间的放到一起
for (int i = 1; i <= cnt2; i++) opt[l + cnt1 + i - 1] = p2[i]; // 将答案值域在右区间的放到一起
solve(l, l + cnt1 - 1, L, mid), solve(l + cnt1, r, mid + 1, R); // 递归求得左区间和右区间
}
一些例题
P3834 可持久化线段树 2（静态区间第 k 小）
双倍经验：P1533 可怜的狗狗。
这个就是上面讲的板子。这是整体二分代码中最容易出错的地方。例如 opt[i].k 在插入时代表“数值”，在查询时代表“第 \(k\) 小”；opt[i].id 在插入时代表“位置下标”，在查询时代表“询问编号”。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 3e5 + 5;
const int MAXM = 5e4 + 5;
int n, m;
int a[MAXN], num[MAXN], ch[MAXN];
int ans[MAXM];
struct Opt {
int type, l, r, k, id;
} opt[MAXN + MAXM], p1[MAXN + MAXM], p2[MAXN + MAXM];
struct BIT {
int val[MAXN];
void add(int x, int k) {
for (int i = x; i <= n; i += i & (-i)) val[i] += k;
}
int query(int x) {
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= i & (-i)) res += val[i];
return res;
}
} bit;
int LSH() {
for (int i = 1; i <= n; i++) num[i] = a[i];
sort(num + 1, num + 1 + n);
int k = unique(num + 1, num + 1 + n) - num - 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = lower_bound(num + 1, num + 1 + k, a[i]) - num;
return k;
}
void solve(int l, int r, int L, int R) {
if (l > r || L > R) return;
if (L == R) {
for (int i = l; i <= r; i++)
if (opt[i].type) ans[opt[i].id] = L;
return;
}
int mid = L + R >> 1, cur = 0;
int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
for (int i = l; i <= r; i++) {
if (opt[i].type == 0) {
if (opt[i].k <= mid) {
bit.add(opt[i].id, 1);
ch[++cur] = opt[i].id;
p1[++cnt1] = opt[i];
} else p2[++cnt2] = opt[i];
} else {
int tmp = bit.query(opt[i].r) - bit.query(opt[i].l - 1);
if (opt[i].k <= tmp) p1[++cnt1] = opt[i];
else {
opt[i].k -= tmp;
p2[++cnt2] = opt[i];
}
}
}
for (int i = 1; i <= cur; i++) bit.add(ch[i], -1);
for (int i = 1; i <= cnt1; i++) opt[l + i - 1] = p1[i];
for (int i = 1; i <= cnt2; i++) opt[l + cnt1 + i - 1] = p2[i];
solve(l, l + cnt1 - 1, L, mid), solve(l + cnt1, r, mid + 1, R);
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0), cout.tie(0);
// freopen("file.in","r",stdin);
// freopen("file.out","w",stdout);
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
int tot = LSH();
for (int i = 1; i <= n; i++) opt[i] = {0, 0, 0, a[i], i};
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int l, r, k;
cin >> l >> r >> k;
opt[i + n] = {1, l, r, k, i};
}
solve(1, m + n, 1, tot);
for (int i = 1; i <= m; i++) cout << num[ans[i]] << "\n";
return 0;
}
P2617 Dynamic Rankings
这个例题就需要你进行修改了，你只需要再加上一种操作：将对应的位置减一即可
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 5;
const int MAXM = 1e5 + 5;
const int MAXOPS = MAXN + MAXM + MAXM;
int n, m;
int a[MAXN], num[MAXOPS];
int ans[MAXM];
pair<int, int> ch[MAXOPS];
char op;
int l, r, k, x, y;
struct Opt {
int type, l, r, k, id;
} opt[MAXOPS], p1[MAXOPS], p2[MAXOPS], raw[MAXM];
struct BIT {
int val[MAXN];
void add(int x, int k) {
for (int i = x; i <= n; i += i & (-i)) val[i] += k;
}
int query(int x) {
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= i & (-i)) res += val[i];
return res;
}
} bit;
int LSH(int vcnt) {
sort(num + 1, num + 1 + vcnt);
int k = unique(num + 1, num + 1 + vcnt) - num - 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = lower_bound(num + 1, num + 1 + k, a[i]) - num;
return k;
}
void solve(int l, int r, int L, int R) {
if (l > r || L > R) return;
if (L == R) {
for (int i = l; i <= r; i++)
if (opt[i].type == 2) ans[opt[i].id] = L;
return;
}
int mid = L + R >> 1, cur = 0;
int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
for (int i = l; i <= r; i++) {
if (opt[i].type == 0) { // 插入操作
if (opt[i].k <= mid) {
bit.add(opt[i].id, 1);
ch[++cur] = {opt[i].id, 1};
p1[++cnt1] = opt[i];
} else p2[++cnt2] = opt[i];
} else if (opt[i].type == 1) { // 删除操作
if (opt[i].k <= mid) {
bit.add(opt[i].id, -1);
ch[++cur] = {opt[i].id, -1};
p1[++cnt1] = opt[i];
} else p2[++cnt2] = opt[i];
} else {
int tmp = bit.query(opt[i].r) - bit.query(opt[i].l - 1);
if (opt[i].k <= tmp) p1[++cnt1] = opt[i];
else {
opt[i].k -= tmp;
p2[++cnt2] = opt[i];
}
}
}
for (int i = 1; i <= cur; i++) bit.add(ch[i].first, -ch[i].second);
for (int i = 1; i <= cnt1; i++) opt[l + i - 1] = p1[i];
for (int i = 1; i <= cnt2; i++) opt[l + cnt1 + i - 1] = p2[i];
solve(l, l + cnt1 - 1, L, mid), solve(l + cnt1, r, mid + 1, R);
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0), cout.tie(0);
// freopen("file.in","r",stdin);
// freopen("file.out","w",stdout);
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
int cnt = 0, tot = 0, vcnt = n;
for (int i = 1; i <= n; i++) num[i] = a[i];
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cin >> op;
if (op == 'Q') {
cin >> l >> r >> k;
raw[++cnt] = {2, l, r, k, ++tot};
}
if (op == 'C') {
cin >> x >> y;
raw[++cnt] = {1, 0, 0, y, x};
num[++vcnt] = y;
}
}
int w = LSH(vcnt);
int cc = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) opt[++cc] = {0, 0, 0, a[i], i};
for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
if (raw[i].type == 2) {
opt[++cc] = raw[i];
} else {
int pos = raw[i].id;
int nv = lower_bound(num + 1, num + 1 + w, raw[i].k) - num;
opt[++cc] = {1, 0, 0, a[pos], pos}; //记得删除后再插入
opt[++cc] = {0, 0, 0, nv, pos};
a[pos] = nv;
}
}
solve(1, cc, 1, w);
for (int i = 1; i <= tot; i++) cout << num[ans[i]] << "\n";
return 0;
}
P1527 [国家集训队] 矩阵乘法
这里从一维变成了二维，就需要二维的 BIT 来维护数据了。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 505;
const int MAXQ = 4e5 + 5;
int n, q, a[MAXN][MAXN];
int num[250005], ans[MAXQ];
pair<int, int> ch[250005];
struct Opt {
int type, x1, x2, y1, y2, k, id1, id2;
} opt[MAXQ], p1[MAXQ], p2[MAXQ];
struct BIT {
int val[MAXN][MAXN];
BIT() {
memset(val, 0, sizeof val);
}
void add(int x, int y, int k) {
for (int i = x; i <= n; i += i & (-i))
for (int j = y; j <= n; j += j & (-j)) val[i][j] += k;
}
int query(int x, int y) {
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= i & (-i))
for (int j = y; j; j -= (j & -j)) res += val[i][j];
return res;
}
} bit;
int LSH() {
int tot = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++) num[++tot] = a[i][j];
sort(num + 1, num + 1 + tot);
int k = unique(num + 1, num + 1 + tot) - num - 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++) a[i][j] = lower_bound(num + 1, num + 1 + k, a[i][j]) - num;
return k;
}
void solve(int l, int r, int L, int R) {
if (l > r || L > R) return;
if (L == R) {
for (int i = l; i <= r; i++)
if (opt[i].type) ans[opt[i].id1] = L;
return;
}
int mid = L + R >> 1, cur = 0;
int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
for (int i = l; i <= r; i++) {
if (!opt[i].type) {
if (opt[i].k <= mid) {
bit.add(opt[i].id1, opt[i].id2, 1);
ch[++cur] = {opt[i].id1, opt[i].id2};
p1[++cnt1] = opt[i];
} else p2[++cnt2] = opt[i];
} else {
int tmp = bit.query(opt[i].x2, opt[i].y2) - bit.query(opt[i].x1 - 1, opt[i].y2) - bit.query(opt[i].x2, opt[i].y1 - 1) + bit.query(opt[i].x1 - 1, opt[i].y1 - 1);
if (opt[i].k <= tmp) p1[++cnt1] = opt[i];
else {
opt[i].k -= tmp;
p2[++cnt2] = opt[i];
}
}
}
for (int i = 1; i <= cur; i++) bit.add(ch[i].first, ch[i].second, -1);
for (int i = 1; i <= cnt1; i++) opt[l + i - 1] = p1[i];
for (int i = 1; i <= cnt2; i++) opt[l + cnt1 + i - 1] = p2[i];
solve(l, l + cnt1 - 1, L, mid), solve(l + cnt1, r, mid + 1, R);
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0), cout.tie(0);
// freopen("file.in","r",stdin);
// freopen("file.out","w",stdout);
cin >> n >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++) cin >> a[i][j];
int tot = LSH(), cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++) opt[++cnt] = {0, 0, 0, 0, 0, a[i][j], i, j};
for (int i = 1; i <= q; i++) {
int x1, x2, y1, y2, k;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> k;
opt[++cnt] = {1, x1, x2, y1, y2, k, i, 0};
}
solve(1, cnt, 1, tot);
for (int i = 1; i <= q; i++) cout << num[ans[i]] << "\n";
return 0;
}
P3527 [POI 2011] MET-Meteors
这个题目涉及到了区间加和，单点查询，所以考虑差分来维护。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 3e5 + 5;
int n, m, q;
int o[MAXN], p[MAXN], ans[MAXN];
pair<int, int> ch[MAXN << 1];
vector<int> G[MAXN]; // 存储国家对应空间站的位置
struct Opt {
int type, l, r, k, id, val;
} opt[MAXN << 1], p1[MAXN << 1], p2[MAXN << 1];
struct BIT {
unsigned long long val[MAXN << 1];
BIT() {
memset(val, 0, sizeof val);
}
void add(int x, int k) {
for (int i = x; i <= m; i += i & (-i)) val[i] += k;
}
unsigned long long query(int x) {
unsigned long long res = 0;
for (int i = x; i; i -= i & (-i)) res += val[i];
return res;
}
} bit;
void solve(int l, int r, int L, int R) {
if (l > r || L > R) return;
if (L == R) {
for (int i = l; i <= r; i++)
if (opt[i].type) ans[opt[i].id] = L;
return;
}
int mid = (L + R) >> 1, cur = 0;
int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
for (int i = l; i <= r; i++) {
if (!opt[i].type) {
if (opt[i].k <= mid) {
if (opt[i].l <= opt[i].r) {
bit.add(opt[i].l, opt[i].val), bit.add(opt[i].r + 1, -opt[i].val);
ch[++cur] = {opt[i].l, opt[i].val};
ch[++cur] = {opt[i].r + 1, -opt[i].val};
} else {
bit.add(opt[i].l, opt[i].val), bit.add(m + 1, -opt[i].val);
bit.add(1, opt[i].val), bit.add(opt[i].r + 1, -opt[i].val);
ch[++cur] = {opt[i].l, opt[i].val};
ch[++cur] = {m + 1, -opt[i].val};
ch[++cur] = {1, opt[i].val};
ch[++cur] = {opt[i].r + 1, -opt[i].val};
}
p1[++cnt1] = opt[i];
} else p2[++cnt2] = opt[i];
} else {
unsigned long long tmp = 0;
for (int j : G[opt[i].k]) tmp += bit.query(j);
if (p[opt[i].k] <= tmp) p1[++cnt1] = opt[i];
else p[opt[i].k] -= tmp, p2[++cnt2] = opt[i];
}
}
for (int i = 1; i <= cur; i++) bit.add(ch[i].first, -ch[i].second);
for (int i = 1; i <= cnt1; i++) opt[l + i - 1] = p1[i];
for (int i = 1; i <= cnt2; i++) opt[l + cnt1 + i - 1] = p2[i];
solve(l, l + cnt1 - 1, L, mid), solve(l + cnt1, r, mid + 1, R);
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0), cout.tie(0);
// freopen("file.in","r",stdin);
// freopen("file.out","w",stdout);
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> o[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> p[i];
for (int i = 1; i <= m; i++) G[o[i]].push_back(i);
cin >> q;
for (int i = 1; i <= q; i++) {
int l, r, a;
cin >> l >> r >> a;
opt[i] = {0, l, r, i, 0, a};
}
for (int i = 1; i <= n; i++) opt[i + q] = {1, 0, 0, i, i, 0};
solve(1, n + q, 1, q + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (ans[i] <= q) cout << ans[i] << "\n";
else cout << "NIE" << "\n";
}
return 0;
}
P7424 [THUPC 2017] 天天爱射击
这个题目只需考虑一些简单的反演：把每个子弹能击穿的木板数转换成每块木板被哪一个子弹击穿的。然后把每一个子弹的位置视作下标，把每一个子弹的射出顺序视作值。对于每一块木板，只需要查询 \([x_1,x_2]\) 中的第 \(s\) 小的值，最后将查询到的子弹的结果加一。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
const int MAXM = 2e5 + 5;
int n, m;
int a, num[MAXN], ch[MAXN];
int ans[MAXM], cnt[MAXN];
struct Opt {
int type, l, r, k, id;
} opt[MAXN + MAXM], p1[MAXN + MAXM], p2[MAXN + MAXM];
struct BIT {
int val[MAXN];
void add(int x, int k) {
for (int i = x; i <= 2e5; i += i & (-i)) val[i] += k;
}
int query(int x) {
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= i & (-i)) res += val[i];
return res;
}
} bit;
void solve(int l, int r, int L, int R) {
if (l > r || L > R) return;
if (L == R) {
for (int i = l; i <= r; i++)
if (opt[i].type) ans[opt[i].id] = L;
return;
}
int mid = L + R >> 1, cur = 0;
int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
for (int i = l; i <= r; i++) {
if (opt[i].type == 0) {
if (opt[i].k <= mid) {
bit.add(opt[i].id, 1);
ch[++cur] = opt[i].id;
p1[++cnt1] = opt[i];
} else p2[++cnt2] = opt[i];
} else {
int tmp = bit.query(opt[i].r) - bit.query(opt[i].l - 1);
if (opt[i].k <= tmp) p1[++cnt1] = opt[i];
else {
opt[i].k -= tmp;
p2[++cnt2] = opt[i];
}
}
}
for (int i = 1; i <= cur; i++) bit.add(ch[i], -1);
for (int i = 1; i <= cnt1; i++) opt[l + i - 1] = p1[i];
for (int i = 1; i <= cnt2; i++) opt[l + cnt1 + i - 1] = p2[i];
solve(l, l + cnt1 - 1, L, mid), solve(l + cnt1, r, mid + 1, R);
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0), cout.tie(0);
// freopen("file.in","r",stdin);
// freopen("file.out","w",stdout);
cin >> n >> m;
int tot = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int l, r, s;
cin >> l >> r >> s;
opt[m + i] = {1, l, r, s, i};
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cin >> a;
opt[++tot] = {0, 0, 0, i, a};
}
solve(1, n + m, 1, m + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) cnt[ans[i]]++;
for (int i = 1; i <= m; i++) cout << cnt[i] << "\n";
return 0;
}
P3332 [ZJOI2013] K 大数查询
这个涉及到了区间修改、区间查询，考虑使用线段树进行维护。
浙公网安备 33010602011771号