浅谈 Splay

浅谈 Splay

什么是 Splay

伸展树（Splay Tree），也叫分裂树，是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由丹尼尔·斯立特（Daniel Sleator） 和 罗伯特·恩卓·塔扬（Robert Endre Tarjan 又是他）在1985年发明的。
假设想要对一个二叉排序树执行一系列的查找操作。为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法， 在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。 splay tree 应运而生。 splay tree 是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。

（From 百度百科）

因为 Splay 是一颗二叉排序树，所以它的每一个节点都应该满足如下性质：

• 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于或等于这个结点的值；
• 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于这个结点的值；

我们知道，在对二叉树进行中序遍历时，会先遍历左子树，然后是自身，最后才是右子树。所以一颗二叉排序树的中序遍历是不严格单调递增的。我们在进行重构树时，也需要保证中序遍历不变。

Splay 可以做什么

• 维护一个区间（废话）；
• 支持区间翻转；
• 支持求一个结点的前驱和后继；
• 支持求一个结点的排名；
• 支持求第\(k\)大；

Splay 需要维护的内容

int val[N];//当前结点的值
int cnt[N];//有多少个重复结点
int pre[N];//当前结点的父结点
int siz[N];//以当前结点为根的子树大小
int son[N][2];//当前结点的子结点([0]为左儿子，[1]为右儿子)
bool rev[N];//是否翻转

Splay 支持的操作

get_dir 操作

这个操作的目的是确定一个节点是父节点的左儿子还是右儿子，返回值为0或1.

代码实现如下：

inline int get_dir(int x)
{
	return son[pre[x]][1]==x;
}

push_up 操作

这个操作的目的是更新子树大小。

代码实现如下：

inline void push_up(int x)
{
	siz[x]=siz[son[x][0]]+siz[son[x][1]]+cnt[x];

	return;
}

rotate 操作

核心操作。 Splay 通过旋转操作来保持平衡。
每次旋转有两种不同情况的旋转，分别是当前结点是父亲结点的左儿子和右儿子。

如果当前结点是父亲的左儿子，如下图，我们要把红点向上一层旋转：

为了方便，我们不妨令这颗树的中序遍历为 \(1-2-3-4-5-6-7\) 。如下图，2号点就是我们要旋转的点：

我们可以清楚的看出 rotate 的变化规律：

son[4][0]=3;
pre[3]=4;//目标结点父亲的左儿子->目标结点的右儿子
son[6][0]=2;
pre[2]=6;//目标结点爷爷的（左/右）儿子->目标结点
son[2][1]=4;
pre[4]=2;//目标结点的右儿子->目标结点的父亲

同理，我们可以看出当前结点是父亲的右儿子时的规律（图中6号结点是目标结点）：

son[4][1]=5;
pre[5]=4;//目标结点父亲的右儿子->目标结点的左儿子
son[2][1]=6;
pre[6]=2;//目标结点爷爷的（左/右）儿子->目标结点
son[6][0]=4;
pre[4]=6;//目标结点的左儿子->目标结点的父亲

归纳一下，可以得出以下步骤：

• 求出目标结点位于父亲结点的方向，并作为基本方向；
• 目标结点父亲的同向儿子->目标结点的异向儿子；
• 目标结点爷爷的（左/右）儿子->目标结点；
• 目标结点的异向儿子->目标结点的父亲；

代码实现如下：

inline void rotate(int x)
{
	int f=pre[x],g=pre[f],d=get_dir(x),s=son[x][d^1];

	son[f][d]=s;
	pre[s]=f;
	son[g][get_dir(f)]=x;
	pre[x]=g;
	son[x][d^1]=f;
	pre[f]=x;
	push_up(f);
	push_up(x);

	return;
}

splay 操作

这个操作的目的是将一个结点一直旋转至目标结点的儿子，如果目标结点为0，则表示旋转至根节点。
其实只需要每次进行旋转后判断父亲是不是目标结点，如果爷爷，父亲与当前结点“三点一线”，我们就要先旋转父节点，再旋转当前结点，使这颗 Splay 更平衡（这是一个很玄学的问题）。

代码实现如下：

void splay(int x,int tar=0)
{
	while(pre[x]!=tar)
	{
		int f=pre[x],g=pre[f];

		if(g!=tar)
		{
			if(get_dir(x)==get_dir(f)) rotate(f);
			else rotate(x);
		}
		rotate(x);
	}
	if(!tar) root=x;

	return;
}

find 操作

这是一个辅助操作，目的是把最大的小于等于指定值的结点 splay 到根节点。
操作很简单，只需要在每个结点处判断当前结点值是否小于指定值，再决定向左或向右,最后把找到的值 spaly 上来。

代码实现如下：

void find(int v)
{
	int x=root;

	if(!x) return;
	while(son[x][v>val[x]]&&val[x]!=v)
	{
		x=son[x][v>val[x]];
	}
	splay(x);

	return;
}

updating……