更快的单源最短路

试图翻译论文。

以下复杂度基于稀疏图，即 \(n,m\) 同阶。

对于无向图，单源最短路的最快时间复杂度是 \(O(n\sqrt{\log n\log\log n})\)，对于有向图，单源最短路的最快时间复杂度是前几天刚提出的 \(O(n\log^{\frac{2}{3}}n)\)，均由 交叉信息院段然研究组 提出。

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先来看看无向图。论文链接。

第一步是对图三度化。

考虑一个结点的邻居结点，把这个结点变成一个 \(d\) 元环，其中 \(d\) 为结点的度数，环上的边权为 \(0\)，环上的每个点连向一个原先的点的邻居结点。

这样点数还是 \(O(n)\) 的。

我们考虑，我们有一种这样的算法——先随机撒点跑 dij（现在及以后出现的 dij 均需要使用斐波那契堆优化），每次 dij 整体维护这个点表示的块的最短路，有点类似树分块的感觉，不过这里是图分块。

考虑我们可以随机的每 \(x\) 个点加一个，即加入整点集的概率为 \(\frac{1}{x}\)。

然后怎么图分块呢？有一个很显然的想法就是散点直接加入离整点最近的点。事实上确实用的是这个。定义 \(belong(u)\) 为 \(u\) 所属的整点，\(Bundle(u)\) 表示整点 \(u\) 所对应的块。

我们再对于每一个结点定义邻域，\(N(u,w)\) 为所有 \(dis(u,v)\le w\) 的 \(v\)。定义一个点的球 \(Ball(u)\) 表示 \(N(u,dis(u,belong(u)))\)（注意 \(belong(u)\) 和 \(u\) 都在 \(Ball(u)\) 中）。

目前的最大目标是先把每个结点的球求出来。考虑对于每个点跑一次 dij，直到第一个整点被堆弹出。那么这个整点就是 \(belong(u)\)，整点之前所有被弹出的点构成的集合就是 \(Ball(u)\)。

考虑时间复杂度，\(|Ball(u)|\) 的期望是 \(O(x)\) 的，那每次时间复杂度期望就是 \(x\log x\)，最多 \(O(n)\) 个点跑，那么时间复杂度就是 \(O(nx\log x)\)。

这样还可以顺便把 \(u\) 和所有 \(Ball(u)\) 中元素的距离求出来。

接下来是正片了。

考虑用以下流程跑最短路（其中将结点 \(u\) 用 \(w\) 松弛表示 \(dis(s,u)\) 对 \(w\) 取最小值）。

最开始，将所有整点插入（斐波那契）堆中。将和 \(s\) 距离为 \(d\) 的堆顶 \(u\) 弹出去的时候，依次执行如下操作：

1. 枚举 \(u\) 所对应的块中结点 \(v\)，对于每一个 \(Ball(v)\) 中的元素 \(w\not =v\)，将 \(v\) 用 \(dis(s,w)+dis(w,v)\) 松弛。注意 \(u\) 是 \(w\) 中的一员。在对于每一个 \(Ball(v)\) 中的元素 \(w\not =u\)，再枚举和 \(w\) 相邻的一条通向 \(x\) 边权为 \(y\) 的边，用 \(dis(s,x)+y+dis(w,v)\) 松弛 \(v\)。
2. 然后，枚举与 \(v\) 相邻的一条通向 \(x\) 边权为 \(y\) 的边，用 \(dis(x,v)+y\) 松弛 \(x\)，类似的，枚举每一个 \(Ball(v)\) 中的元素 \(w\not =u,v\)，用 \(dis(x,v)+dis(v,w)\) 松弛 \(w\)。

对于以上两步，每次松弛散点 \(u\) 的时候，同时用 \(dis(s,u)+dis(u,belong(u))\) 松弛 \(belong(u)\)。

复杂度分析留给读者作为练习，可以证明这部分复杂度是 \(O(\frac{n\log n}{x}+nx)\) 的。

和求球加在一起是 \(O(\frac{n\log n}{x}+nx\log x)\)，取 \(x=\sqrt{\frac{\log n}{\log\log n}}\) 就可以做到 \(O(n\sqrt{\log n\log\log n})\) 了。

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现在去看有向图。论文链接。

这个做法是一个确定性做法，用到无向图上也是目前最快的确定性算法。

论文还没读懂，全英太困难了，别催了别催了[流泪]。