Four Russian

Four Russian 是一种处理区间问题的方法，一般用于处理静态区间半群信息查询。

主要思路是分块，块外使用别的数据结构套上去，块内直接枚举所有本质不同的块去做。

这个算法其实可以告诉我们：如果可以将所有可能的序列分成若干种，要求种类数值域无关，记为 \(O(f(n))\)，那么复杂度可以做到 \(O(n\log_n^*f(n))-O(1)\)。

显然在几乎所有情况下，这就是 \(O(n)-O(1)\) 了。

例 1

给你一个数列，保证相邻两项的差值的绝对值为 \(1\)，每次询问求区间最小值。

对序列用 \(B\) 分块，块间用 ST 表。

考虑块内，答案显然只和首项和差分数组有关，可以钦定首项为 \(0\)，然后做完后再加上首项即可。

差分数组只有 \(2^B\) 种取值，直接枚举所有可能的差分数组和每一个区间算答案，是 \(O(2^BB^2)\) 的。

那么时间复杂度就是 \(O(\frac{n}{B}\log\frac{n}{B}+2^BB^2)\)，取 \(B=\frac{\log n}{2}\) 即可做到 \(O(n)-O(1)\)。

例 2

给你一棵树，每次询问给定两点求 LCA。

对树建出欧拉环游序，注意到两点 LCA 为他们之间 dep 最小的点，并且欧拉环游序上每个相邻的点 dep 都只差 1，那么就可以用例 1 的方法。

例 3

给你一个数列，每次询问求区间最小值。

对数列建出笛卡尔树，注意到两点间的最小值为它们在笛卡尔树上的 LCA，那么就可以用例 2 的方法。

例 4

给你两个 01 矩阵，求它们的 01 积。

这个比较简单。但是比较特殊。

用 \(B=\sqrt{\log n}\) 二维分块，块间 \(O(\frac{n^3}{\log^{\frac{3}{2}}n})\) 块内预处理 \(O(4^{B^2}B^3)=O(n^2\log^{\frac{3}{2}}n)\)。这样就可以做到 \(O(\frac{n^3}{\log^{\frac{3}{2}}n})\)。

然后你发现这个做法有一个问题就是你二维都分块了之后不能 bitset 优化了。考虑分一维的块，另一维加 bitset 优化。这里一定要注意要分一维的块的时候 A 和 B 分块的那一位不同。这样是能做到 \(O(\frac{n^3}{w\log n})\) 的。

例 5

给你一个数列，每次询问求区间绝对众数，这里绝对众数的定义是出现次数大于序列长度一半的数，若不存在可以输出任意数。

首先有个东西叫做摩尔投票，这使得绝对众数是一个区间半群信息。

但是这个东西明显不可重，所以不能用 ST 表。

然而有个东西叫做猫树，和 ST 表一样，可以 \(O(n\log n)-O(1)\) 的解决区间半群问题，但是不需要可重。

那么就可以做了。

唯一的问题是这里本质不同的序列个数变成了 \(B^B\)（每个块可以哈希映射一下），取 \(B=\log n\) 时复杂度甚至大于暴力。

\[(\ln n)^{\ln n}=(\ln n)^{\ln n}=e^{\ln n\ln\ln n}=n^{\ln\ln n} \]

那么我们可以分两层，第一层 \(\log\)，第二层 \(\log\log\) 就可以解决问题了。

\[(\ln\ln n)^{\ln\ln n}=e^{\ln\ln n\ln\ln\ln n}<e^{\ln n}=n \]

例 6

给你一个序列，每次询问求区间最大子段和，值域是 \(\log\) 级别，即 \(-\ln n\le a_i\le\ln n\)。

虽然说 Four Russian 一般要求种类数是值域无关，但是这个值域一看就有玄机。

首先最大子段和是一个经典的半群信息，维护前缀、后缀、区间三个区间即可。

做一次对 \(\log\) 分块，块间同样猫树，块内有 \((\log n)^{\log n}\) 种块，不能直接做。

那么仿照例 5，我们也分两层块，这样块内就有 \((\log n)^{\log\log n}\) 种块，这样比 \(n\) 是要小的。

\[(\ln n)^{\ln\ln n}=e^{\ln^2\ln n}<e^{\ln n}=n \]

这样就可以做到 \(O(n)-O(1)\)。

例 7

给你一棵树，值域是 \(\pm 1\)，每次询问求链最大子段和。

对树使用 top cluster 树分块，建出收缩树。

对收缩树建出点分树，这样两点之间的信息可以用这两点在点分树上的 LCA 合并。LCA 用 \(O(n\log n)-O(1)\) 的方法即可。

这下我们要算本质不同的树的数量。

先是形态，考虑记下每个点父亲，粗略估算 \((B-1)!\) 种，然后边权是 \(2^B\) 种。用斯特林公式得到树的形态是 \(B^B\)，也就是说式子和例 5 是一样的，分两次即可。

例 8

欢迎大家来提供需要分三次块的题，我放这里。