【笔记】韦达定理的定义与证明

前言

已知,一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0\) \((a,b,c\in \mathbb{R},a\not = 0)\) 有如下求根公式:

\[\Delta = b^2-4ac \]

\[x_{1,2}=\frac{- b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]

当 \(\Delta<0\) 时,方程无实数根;

当 \(\Delta=0\) 时,方程有两个相等的实数根( \(x_{1}=x_{2}\) );

当 \(\Delta>0\) 时,方程有两个不相等的实数根( \(x_{1}\not =x_{2}\) );

那么,当该方程有两个实数根时,这两个根的和,积如何计算?

这就要用到伟大的韦达定理了.

定义

当一个一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0\) \((a,b,c\in \mathbb{R},a\not = 0)\) 的 \(\Delta \ge 0\) 时(记住,只有\(\Delta \ge 0\)时韦达定理才成立!这是有惨痛经历的!),两个根 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\) 满足以下等式:

\[x_{1}+x_{2} = -\frac{b}{a} \]

\[x_{1}\cdot x_{2}= \frac{c}{a} \]

证明

根据求根公式,

\[x_{1}=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_{2}=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

则

\[x_{1}+x_{2}=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a} \]

\[x_{1}\cdot x_{2}=\frac{(-b- \sqrt{b^2-4ac})(-b+ \sqrt{b^2-4ac})}{(2a)^2}=\frac{b^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} \]

证毕.