欧拉函数与欧拉定理
关于欧拉函数
定义：$\varphi(x)$ 表示小于等于 $x$ 的数中与x互质的个数有多少个
例如 $\varphi(1)=1,\varphi(5)=4(1,2,3,4),\varphi(6)=2(1,5)$
公式：
1. 对于 $x=p^k,p$ 为质数。
$\varphi(x)=(p-1)\times p^{k-1}$
证明：
小于 $x$ 的数有 $p^k-1$个，小于 $x$ 且与 $x$ 互质是数有 $p^{k-1}-1$个，由于 $x$ 只由一种质数构成，因此所有 $p$ 的倍数与 $x$ 都不互质， $p$ 的倍数中小于 $x$ 的有 $p^{k-1}-1$ 个，$p\times p^{k-1}=x$，小于等于 $x$ 的有 $p^{k-1}$ 个，除去 $x$，小于 $x$ 的有 $p^{k-1}-1$ 个
所以与 $x$ 互质的个数即
$\varphi(x)=p^k-1-(p^{k-1}-1)=p^k-p^{k-1}=(p-1)\times p^{k-1}$
2. 对于 $x,y,x$ 与 $y$ 互质
有 $\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$
即 $\varphi(x)$ 是积性函数。
3. 对于 $\forall x$ 设 $x=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times ...\times p_n^{k_n}$
$\varphi(x)=x\times(1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})\times...\times(1-\frac{1}{p_n})$
证明：
$\because p_1,p_2...,p_n$ 互质
$\therefore\varphi(x)=\varphi(p_1^{k_1})\varphi(p_2^{k_2})...\varphi(p_n^{k_n})$(由 $2$ 得)
$=(p_1-1)(p_2-1)...(p_n-1)p_1^{k1-1}p_2^{k_2-1}...p_n^{k_n-1}$
$=\frac{p_1-1}{p_1}\frac{p_2-1}{p_2}...\frac{p_n-1}{p_n}p_1^{k1}p_2^{k_2}...p_n^{k_n}$
$=\frac{p_1-1}{p_1}\frac{p_2-1}{p_2}...\frac{p_n-1}{p_n}x$
$=x\times(1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})\times...\times(1-\frac{1}{p_n})$
于是可以在 $\sqrt{n}$ 的时间里求出 $\varphi(n)$
4. 线性筛筛欧拉函数
在 $O(n)$ 的时间内筛出 $\varphi(1)...\varphi(n)$
考虑线性筛筛积性函数的流程：
$\varphi(1)=1$
对于 $i$ 与 $p$ ($p$是质数)
若 $i$ 与 $p$ 互质 即 $i$ 中无 $p$ 这个质因子 ($i$ $\%$ $p\neq 0)$
$\varphi(i\times p)=\varphi(i)\varphi(p)$
若 $i$ 与 $p$ 不互质 即 $i$ 中有 $p$ 这个质因子 ($i$ $\%$ $p=0)$
设 $i=r\times p^k$，$r$ 与 $p$ 互质
$\varphi(i\times p)=\varphi(r\times p^{k+1})$
$=\varphi(r)\times \varphi(p^{k+1})$
$=\varphi(r)\times(p-1)\times p^k$
$=\varphi(r)\times(p-1)\times p^{k-1}\times p$
$=\varphi(r)\times\varphi(p^k)\times p$
$=\varphi(r\times p^k)\times p$
$=\varphi(i)\times p$
到这就可以放心线性筛了。
5. 小于等于 $x$ 且与 $x$ 互质的数的和
不妨设为 $f(x)$
则
$$
f(x)=\begin{cases}
1 (x-1)\\
\frac{\varphi(x)\times x}{2} (x>1)
\end{cases}
$$
证明：
下证：对于 $\forall i$ 与 $x$ 互质 $(i<x)$ ,有 $x-i$ 与 $x$ 互质
设 $\gcd(x-i,x)=k$
则 $x=a\times k,x-i=b\times k$ ($a,b$互质)
则 $i=(a-b)\times k$
则 $x$ 与 $i$ 都有 $k$ 这个因子
又 $\gcd(i,x)=1$
得 $k=1$
证毕得 若 $\gcd(i,x)=1$，有 $\gcd(x-i,x)=1$
$\because$对于 $\forall i$ 与 $x$ 互质 $(i<x)$ ,有 $x-i$ 与 $x$ 互质
$\therefore f(x)=\sum\limits_{gcd(i,x)=1}i$
$=\frac{1}{2}\times 2\times\sum\limits_{gcd(i,x)=1}i$
$=\frac{1}{2}\times\{\sum\limits_{gcd(i,x)=1}i+\sum\limits_{gcd(i,x)=1}(x-i)\}$
$=\frac{1}{2}\times\sum\limits_{gcd(i,x)=1}(i+x-i)$
$=\frac{1}{2}\times\sum\limits_{gcd(i,x)=1}x$
$=\frac{1}{2}\times \varphi(x)\times x$ (满足 $\gcd(i,x)=1$ 的 $i$ 有 $\varphi(x)$ 个
证毕.
6. 欧拉定理
$a^{φ(x)}\equiv 1(\mod x)$ ( $a$ 与 $x$ 互质)
证明不会QAQ
7. 拓展欧拉定理
$$
a^b=\begin{cases}
a^{b\mod \varphi(x)} \gcd(a,x)=1\\
a^{b\mod \varphi(x)+\varphi(x)}\gcd(a,x)\neq 1\\
\end{cases}
$$
下面证明：$a^b=a^{b\mod \varphi(x)}(\mod x),\gcd(a,x)=1$
即证明 $a^{b-b \mod \varphi(x)}\times a^{b \mod \varphi(x)}\equiv a^{b\mod \varphi(x)}(\mod x)$
又$a^{b \mod \varphi(x)}\equiv a^{b\mod \varphi(x)}(\mod x)$恒成立
于是只要证明$a^{b-b \mod \varphi(x)}\equiv 1(\mod x)$
$b-b \mod \varphi(x)=q\times\varphi(x)+b \mod \varphi(x)-b \mod \varphi(x)=q\times\varphi(x)$
$a^{b-b \mod \varphi(x)}=a^{q\times\varphi(x)}=(a^q)^{\varphi(x)}$
因为 $a$ 与 $x$ 互质，所以 $a^p$ 与 $x$ 互质
根据欧拉定理有
$(a^q)^{\varphi(x)}\equiv1(\mod x)$
于是
$a^{b-b \mod \varphi(x)}\equiv 1(\mod x)$
$a^{b-b \mod \varphi(x)}\times a^{b \mod \varphi(x)}\equiv a^{b\mod \varphi(x)}(\mod x)$
$a^b=a^{b\mod \varphi(x)}(\mod x),\gcd(a,x)=1$
