GDKOI2021 TG Day2T1 game （暨常见期望套路）

GDKOI2021 TG Day2T1 game

题目大意

你最多有n分积分，初始时为0，当积分为i时下一次有\(p_i\)的概率获得一分，有\(1-p_i\)的概率失去一分(若为0则不变)。
求获得n分的期望歩数。

解法

考场上一直设的是到i分的期望歩数……

我们设从i走到i+1的期望歩数为\(f_i\)

两种情况：

1. \(p_i\)的概率一步走到
2. \(1-p_i\)的概率退回到i-1，然后\(f_{i-1}\)走到i，再\(f_i\)走到i+1

\[f_i = 1+(1-p_i)(f_i+f_{i-1}) \]

总结

常见套路，也告诉我们可以尝试多种设状态的方式。