基础知识及方法技巧
重在关系
奇数±奇数=偶数
偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数
偶数±奇数=奇数
奇数×奇数=奇数
奇数×偶数=偶数
偶数×偶数=偶数
奇数不可能被偶数整除
1 只有 1 个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
注：
① 最小的质数是 2，最小的合数是 4，连续的两个质数是 2、3。
② 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
③ 20 以内的质数：有 8 个（2、3、5、7、11、13、17、19）
④ 100 以内的质数有 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、
47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100 以内找质数、合数的技巧：
看是否是 2、3、5、7、11、13 的倍数，是的就是合数，
不是的就是质数。
尾数性质
两个数进行四则运算时，结果的尾数由原尾数运算所得。
某次测验有 50 道题，每做对一道得 3 分，不做或做错一道倒扣 1 分。某学生共得
82 分，问答对题和答错题数（包括不做）相差多少（
）。
A.33
B.39
C.17
D.16
x+y=50 x-y=偶数
已知 3 个质数的倒数和为 671/1022，则这 3 个质数的和为（）。
A．80
B．82
C．84
D．86
3个质数乘积为偶数 则其中一个为2
1022 / 2 =511
671-511 = 160
160 / 2 + 2 = 82
1 分、2 分和 5 分硬币共 100 枚，价值 2 元，如果其中 2 分硬币的价值比 1 分硬币
的价值多 13 分。问三种硬币各多少枚？
A.51、32、17
B.60、20、20
C.45、40、15
D. 54、28、18
2x - y = 13 y为奇数 排除b、d
超市将 99 个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装 12 个苹果，小包装盒每个装 5
个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?( )
A. 3
B. 4
C. 7
D. 13
12x + 5y = 99 5y为奇数 12x尾数为4 则x为2、7
x为2 带入 x= 2，y = 15
一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上的数
字和十位上的看反了，准备付 21 元取货。售货员说：“您应该付 39 元才对。”请问书比杂
志贵多少钱?( )
A. 20
B. 21
C. 23
D. 24
10a + b + c = 21
10b + a + c = 39
9b - 9a = 18
b-a = 2
a=1,b=3
有 8 个盒子分别装有 17 个、24 个、29 个、33 个、35 个、36 个、38 个和 44 个乒
乓球，小赵取走一盒，其余各盒被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个
数相同，并且是小李取走的两倍，则小钱取走的各个盒子中的乒乓球最可能是( )。
A.17 个，44 个
B.24 个，38 个
C.24 个，29 个，36 个
D.24 个，29 个，35 个
2x 答案为偶数
代入小李 b项 为31不存在
两个派出所某月内共受理案件 160 起，其中甲派出所受理的案件中有 17%是刑事案
件，乙派出所受理的案件中有 20%是刑事案件。问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事
案件（
）
A．48
B．60
C．72
D．96
17百分比 则 甲案件数为100
倍数特性
被 5 整除的判定依据---个位是 0、5 的数可被 5 整除。
被 8 整除的判定依据---末三位可被 8 整除的数能被 8 整除。
被 3 整除的判定依据---各位数字和是 3 的倍数的数可被 3 整除。
被 9 整除的判定依据---各位数字和是 9 的倍数的数可被 9 整除。
被 6 整除的判定依据---能同时被 2、3 整除。
被 7 整除的判定依据---末三位与其前面部分的差能被 7 整除
被 11 整除的判定依据---一个数由右向左数，奇位数字和与偶位数字和之差能被 11 整除
重要性质：
传递性：
如果数 a 能被 b 整除，数 b 能被 c 整除，则数 a 能被 c 整除。
可加减性：如果数 a 能被 c 整除，数 b 能被 c 整除，则 a+b、a-b 均能被 c 整除。
有一个分数，分母加 2 等于 2/5
，分母减 3 等于 1/2 ，这个分数分子和分母的和
为多少（）。
A.33
B.11
C.30
D.19
加2是7的倍数
减3是3的倍数
一块金与银的合金重 250 克，放在水中减轻 16 克。现知金在水中重量减轻 1/19，
银在水中重量减轻 1／10，则这块合金中金、银各占的克数为多少克？（ ）
A.100 克，150 克
B.150 克，100 克
C.170 克，80 克
D.190 克，60 克
1/19 则金为19倍数
代入排除法
很多题目正面求解很困难或者耗时较多，但是结合选项来看却相对容易，此时可以直接将选
项带入题干进行验证，这便是代入排除法。
代入排除法是数学运算中最主要的速解方法！
运用的方法主要有奇偶性、质合性、倍数特性、尾数性质
共有 20 个玩具交给小王制作。规定制作的玩具每合格一个得 5 元，不合格一个扣 2
元，未完成的不得钱也不扣钱。最后小王共收到 56 元，那么他制作的玩具中，不合格的共
有（）个。
A.2
B.3
C.5
D.7
5x -2y = 56
则 5x 为偶数 则x为偶数 5x尾数为0 则 2y尾数为4 y为2，7
一个产品生产线分为 abc 三段，每个人每小时分别完成 10、5、6 件，现在总人数
为 71 人，要使得完成的件数最大，71 人的安排分别是( )。
A、14：28：29
B 、15：31：25
C、16：32：23
D、17：33：21
最小公倍数 30 3：6：5
则代入 b最接近
某成衣厂对 9 名缝纫工进行技术评比，9 名工人的得分恰好成等差数列，9 人的平
均得分是 86 分，前 5 名工人的得分之和是 460 分，那么前 7 名工人的得分之和是多少？()
A．602
B．623
C．627
D．631
由等差数列求和公式可得，答案是7的倍数 排除c、d项
第4人 = 前7之和的平均数
a项 602/7 = 86 与 9人平均相等 不正确
一个整数,用它分别去除 157,234 和 324,得到三个数余数和为 100,则这个数为（）
A．44
B．43
C．42
D．41
157+234+324 -100 = 615
答案能整除615
61*15 = 615
某技校安排本届所有毕业生分别去甲、乙、丙 3 个不同的工厂实习。去甲厂实习的
毕业生占毕业生总数的 32%，去乙厂实习的毕业生比甲厂少 6 人，且占毕业生总数的 24%。
问去丙厂实习的人数比去甲厂实习的人数（）
A．少 9 人
B．多 9 人
C．少 6 人
D．多 6 人
甲比乙多8百分比 等于 6人
丙为44百分比 比甲多 留bd
多12百分比 多于6人
最大公约数、最小公倍数
最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的
最大公约数。--约分
最小公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最
小公倍数。--通分，设总量
3 5 2
39 5 6
218 10 12
三者的最大公约数 2，18 和 12 的最大公约数是 6
最小公倍数 2*3*3*5*2=180
某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔 2 天、
乙部门每隔 3 天有一个发布日，节假日无休。甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时
为发布日（）
A．5
B．2
C．6
D．3
每4天 每3天 公倍数 为12
最多则 1 、13、 25
赋值法
都是比例则用赋值法
如果求解某一问题需要用到某个未知量，并且这个量的大小并不影响最终结果，那么我们可
以将这个量设为一个利于计算的数值，从而化简计算，这种方法便是赋值法。
常用赋值：设 1、设 100、设最小公倍数
用于工程问题、比例问题求解
打开 A、B、C 每一个阀门，水就以各自不变的速度注入水槽。当三个阀门都打开时，
注满水槽需要 1 小时；只打开 A、C 两个阀门，需要 1.5 小时；只打开 B、C 两个阀门，需要
2 小时。若只打开 A、B 两个阀门时，需要多少小时注满水槽（
）。
A.1.1
B.1.15
C.1.2
D.1.25
效率比：1：2/3：1/2 等于 6：4：3
A：B：C = 3：2：1
则 6/5 = 1.2
两个相同的瓶子装满某种化学溶液，一个瓶子中溶质与水的体积比是 3:1，另一个
瓶子中溶质与水的体积比是 4:1，若把两瓶化学溶液混合，则混合后的溶质和水的体积比是
多少（
）。
A.31:9
B.7:2
C.31:40
D.20:11
相同瓶子装满为1：1
因为浓度不同相容则浓度比在 3/4（75） < x < 4/5（80） 而两液体体积相同则 刚好在中间 为77.5
某集团有 A 和 B 两个公司，A 公司全年的销售任务是 B 公司的 1.2 倍，前三季度 B
公司的销售业绩是 A 公司的 1.2 倍，如果照前三季度的平均销售业绩，B 公司到年底正好能
完成销售任务。问如果 A 公司希望完成全年的销售任务，第四季度的销售业绩需要达到前三
季度平均销售业绩的多少倍（）
A．1.44
B．2.4
C．2.76
D．3.88
找比例赋值 一般分比例比较好算
以后面比例为准 B：A = 1.2：1 则设B前三季度为120 则B全程任务为160
则 A为 192
前3 100 剩余92
答案： 92/（100/3）
方程法
方程法是通过列方程（组）、不定方程（组）或不等式（组）来解题的方法
极端分析法
极端分析法是指通过分析问题的极端情况来解题的方法。
常用于数据分配、抽屉问题等组合数学题目的求解
最值问题：最多/至少...
至少...保证...
最多的...最少...
最少的...最多...
5 个人的平均年龄是 29，5 个人中没有小于 24 的，那么年龄最大的人可能是多少
岁？
A. 46
B. 48
C. 50
D. 49
没有不同要求 则求范围
最大 为 29+20 = 49
最小 为 29
阅览室有 100 本杂志，小赵借阅过其中 75 本，小王借阅过 70 本，小刘借阅过 60
本，则三人共同借阅过的杂志最少有（
）本。
A．5
B．10
C．15
D．30
至少有一人没看过的
25+30+40 = 95
答案为100-95 = 5
抽屉原理
外国讲星座，中国传统讲属相。请问在任意的 37 个中国人中至少有几个人的属相
相同（）。
A.3
B.4
C.5
D.6
至少情况中最多
某公司举办大型年会活动，共 35 人参加。其中 13 名女生，每人至少表演一个节目，
导演尽可能平均分配节目，共表演了 27 个节目，则至少有一名女生至少表演多少个节目：
()
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
最不利
从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少有 6 张牌的花色相同（ ）。
A.21
B.22
C.23
D.24
要算大小王
有 17 个完全一样的信封，其中 7 个分别装了 1 元钱，8 个分别装了 10 元钱，2 个
是空的，问最少需要从中随机取出几个信封，才能保证支付一笔 12 元的款项而无需找零
（）。
A.4
B.7
C.10
D.12
图示法
图示法是指利用图形来解决数学运算的方法。图示法简单直观，能够清楚表现出问题的过程
变化，复杂的数字之间的关系用图形形象地表示出来，能够更快更准地解决问题。
适用于大部分题型，尤其是在行程问题、年龄问题、容斥问题等强调分析过程的题型中运用。
常用的图形有线段、文氏图和几何图形等。
某大学某班学生总数为 32 人。在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24
人及格。若两次考试中，都没有及格的有 4 人，那么两次考试都及格的人数是（）。
A.22
B.18
C.28
D.26
容斥原理
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种
新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对
象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏
又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
二集合容斥原理
三集合容斥原理
二集合容斥原理
如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，先把 A、B 两个集合的元素个数相加，发现既是 A
类又是 B 类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示：
公式：A∪B=A+B-A∩B
某出版社新招了 10 名英文、法文和日文方向的外文编辑，其中既会英文又会日文
的小李是唯一掌握一种以上外语的人。在这 10 人中，会法文的比会英文的多 4 人，是会日
文人数的两倍。问只会英文的有几人（）
A．2
B．0
C．3
D．1
设答案为x
x+1+4 = 偶数 则x为奇数
代入c。法为8；8+3>10 错误
工厂组织职工参加周末公益劳动，有 80%的职工报名参加。其中报名参加周六活动
的人数与报名参加周日活动的人数比为 2︰1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加
周日活动的人数的 50%。问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的（）
A．20%
B．30%
C．40%
D．50%
都是比例则用赋值法
设只周日报名为20 则 周日为30 周六为60 则参加报名为 90-10 = 80
未报名为20 只报周六为50
三集合容斥原理
如果被计数的事物有 A、B、C 三类，
那么，将 A、B、C 三个集合的元素个
数相加后发现两两重叠的部分重复计
算了 1 次，三个集合公共部分被重复
计算了 2 次。
如图所示，灰色部分
A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、
C∩A-A∩B∩C 都被重复计算了 1 次，黑色部分 A∩B∩C 被重复计算了 2 次，因此总数 A∪B
∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩
C-C∩A+A∩B∩C。即得到：
公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
非标准公式：
A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C
中间是只报名2种
补充公式：A∪B∪C=A+B+C-（AB+BC+CA）-2A∩B∩C
五年级一班共有 55 个学生，在暑假期间都参加了特长培训班，35 人参加书法班，
28 人参加美术班，31 人参加舞蹈班，其中以上三种特长班都参加的有 6 人，则有（）人
只参加了一种特长培训班。
A.45
B.33
C.29
D.22
浙公网安备 33010602011771号