Day-5
DP
背包
多重背包 单调队列
- ？？？
P4141
- 退背包
- 由暴力到优化
- 每删一个， 做一次背包
- $ n ^ 2 m $
- 前后缀
- F(i, j) 前 i 件， G(i, j) 第i - n 件
- $ n m ^ 2 $
- 退掉 i 物品
- $ f(i, j) = \sum {f(i - 1, x)}$
- $ f(j) -= f(j - w_i) $
- 每删一个， 做一次背包
- 拓展：去掉 i ， 求 max
- 分治背包
- 目的：除 i 以外的背包
- 每次走哪边， 就把相反的一边加入（走左加右）， 走到最底层， 就只有一个点没加进去， 达成目的
P2371
- 背包做法
- n 比较小， a 相比 l， r 较小
- 凑出 x， 则 \(x + a_1, x + 2a_1 ....\) 都可以凑出来
- j 通过 a_k 到 \((j + a_k) \% a_1\), \(dp[(j + a_k) \% a_1] = dp[j] + a_k\), 形似最短路
P8392
- 重量很小， 数量， 个数都很大
- 贪心能得到 < l 的最大个数
- 贪心 + DP
- 怎么调整 ？？？
- 再跑一次多重背包
P4322
- 暴力 \(dp(i, k, \sum a) = \sum b\)
- 求 b 的最小值
- 答案为 ans
- $ ans \le \sum a / \sum b$
- $ 0 \le \sum(a - b * ans) $
- 二分 ans， 树形背包
区间DP
- 倒着考虑
- 最后一共一堆
- 上一步是一个前缀和一个后缀合并
- 都是区间合并
- 枚举由哪两个区间合并
BZOJ 4380
-
[l, r] -> 找区间最小值 -> 全局最小值 ：跨过全局最小值的花费为它
- 剩下的分为两种：在他左边的， 右边的 -> 两个区间
- 只有 f(l, r) 没法转移
- 再记录一维最小值 k， f(l. r, k)
-
c 离散化
-
枚举最小值的位置 p 和值 k
- 枚举左右边的最小值(>= k) 复杂度太高
- 对左右边最小值做前缀和，O(1) 转移
-
$O(n ^ 3 m) $
-
脑子里存着做法， 考试的时候试
AGC 26 D
- h 全相等怎么做
- 确定一行， 剩下的最多有两种填法
- 确定最下面， 上面 01 反转 \(2^n(第一行2^n, 第一行确定了上面只有1种填法)\)
- 01 交替 \(2^h\)
- 重复的：010101..., 101010 (01反转)
- 不全相等？
- 最下面加上一行， 假设上面已知， 要求你填这一行 懒人思维法
- 上面的
- 01交替 || 空的：方案数*2
- 否则不变
- 上面的和第一行一样
- dp(l, r, k, 0/1) 区间[l, r], 高为k, 是否01交替
- $O(n * n * h_i * 2) $
- 但是有些 \(h_i\) 用不到（h0 = 1, h1 = 10， h2 = 1）
- 高出去的都可以跳掉（单独算）
- 怎么分段？
- 由 \(h_i\) 的最小值分成左右两部分
- 用笛卡尔树
CF1372E
- 假设上面的都填好了， 你要填最后一行
- 往 1 多的列填
- 枚举一列， 让所有的 1 在这一列
- 分成左半部分， 右半部分的子问题
- f(l, r) 表示区间[l, r] 的最优， 并且只考虑了(l <=u <= v <= l 的区间)，u， v是题目中的区间两端点
P6563
- 懒人：x 在 [l, r] 中， 还要多少代价
- f(l, r) = min(max(f(l, k), f(k + 1, r) + ak))
- 优化？
- a 单调不降
- 随着 k 的枚举， ak 越来越大， 代价可能越来越大（f单调性未知）
- 拆开 max
- k 增大， f(l, k) 增大， f(k + 1, r) 减小
- f(l, r) 有一个前缀取f(k + 1, r), 一个后缀取 f(l, k)， 有一个分界点（二分得到）
- 后缀：f(l, k)， ak都单增， 取结尾最大
- 前缀：f(l, r) = min(f(k + 1, r) + ak) 同一个 r
- 线段树
- 7000 的点不能带 log
- 泛化：单点修改， 区间 min， 只能 log
- 什么时候区间min不带log -> 单调队列
- ？？？
四边形不等式
- f(i, j) = min(f(i, k - 1) + f(k, j) + w(i, j))
- 如果w满足
- 区间更小更优
- 交叉优于包含
- （见课件）
- 性质：
- (i, j) 的最优决策点是 k， 则(i, j + 1) 的 >= k
- 如何w判断是否满足单调性 (PPT)
- 在区间里暴力枚举决策点（PPT）
石子合并
- 最小代价
- 小区间代价小于大区间
- 交叉优于包含（？？）
决策单调性
- 一维：二分队列 ？？？
- 二维：暴力枚举
？？？
// 下午
Loj 6039
-
暴力 f(i, j) 前 i 个， 体积为 j 的最大价值 $O(nk) $
-
假设 c 相同
- 贪心选价值大的
- 同体积排个序， 从大到小选 \(O(nk)\)
- \(f(i, j) = max{f(i - 1, j - v_k) + w_k}\)
- 作用：改变转移式， 用来优化
-
单调性
- 考虑四边形不等式
- 但是唯一的价值函数 w 是一维的
- 转化：
- \(w_k = w_{j - k, j}\)
- 跟长度有关，交叉优于包含
- 为什么满足决策单调性？
-
把一维函数改写成满足四边形不等式的函数
斜率优化
板子
-
推导
-
\(f(i, j) = min(f(k, j - 1) + (s_i - s_k)^2) + c\)
-
假设 j < k 且 f(k) 优于 f(j)
-
\(f(j) + (s_i - s_j)^2 \ge f(k) + (s_i - s_k)^2\)
-
设 \(f(j) + s_j = g(j)\)
-
\(g(j) - 2s_is_j \ge g(k) - 2s_is_k\)
-
\(\frac{g(j) - g(k)}{s_j - s_k} \ge 2s_i\) 类似于斜率的公式
-
另一个
-
\(f(i) = min(f(k) + (s_i - s_k)^2)+c)\)
-
\(f(k) + s_i ^ 2 + s_k ^ 2 - 2s_is_k\)
-
\(f(i) = min(f(k) + s_k^2 - 2s_is_k) + c + s_i^2\)
-
\(f(i) = min(g(k) - 2s_is_k)+...\)
-
-
-
然后？？
-
上/下凸包？？？
-
好写的方法：向量判断
P3648
-
DP 顺序
- 代价和分割顺序无关
-
暴力 $f(i, k) = max(f(j, k - 1) + (s_i - s_j) * (s_n - s_i)) $
-
\(s_is_n-s_i^2丢掉\) && \(f(j) - s_js_n = g(j)\) && $ -s_is_j$
-
设 j < k 且 k 优于 j
-
\(\frac{g(k) - g(j)}{s_k - s_j} \ge -si\)
-
看成点 $ (s_i, g(i)) $
-
\(-s_i\) 单减， 上凸包
-
判断凸包
-
找三个点， 构成三角形
-
斜率由正无穷减小
-
上凸包
-
CF1175G
-
暴力：\(f(i, k) = min(f(j, k - 1) + (i - j) * max_{j + 1, i})\)
-
消掉 max
- 单调栈
- 分成一段一段， 段内 max 相同
-
\(f(j) + (i - j) * max\) max会变
-
离线凸包 或 在线李超树
- 有很多条函数， 维护他们他最大值 $F(i) = max(f(i), g(i)...) $
- 最小值是上凸包， 最大值是下凸包
- 合并凸包：启发式
-
题解
CEOI 2017
- 在端点相交 1 3 建了桥， 2 4就不能建桥
- \(f(i) = min(f(j) + (h_i - h_j) ^ 2 + s_{i - 1} - s_j\)
- \(g(j) = h_j ^ 2 + f(j) - s_j\)
- j < k 且 k 优于 j
- \(g(k) - g(j) \le 2h_i(h_k - h_j)\) 但是 \(h_k - h_j\) 正负未知，无法移项
- 法二：
- \(f(i) = min(f(j) + (h_i - h_j) ^ 2 + s_{i - 1} - s_j\)
- min 拆开
- \(f(i) - s_{i - 1} - h_i^2 = -2h_ih_j + f(j) + h_j^2 - s_j\)
- \(g(j) = f(j) + h_j^2 - s_j\)
- \(f(i)\) 尽可能小 -> \(-2h_ih_k\) 变小
- \(-2h_ih_j\) -> 直线 \(kx\)
- 最小值是上凸包， 李超树
wqs 二分
-
解决的问题：恰好分为 k 段， 且该函数为凸函数
-
解决办法：用直线切凸包， 不断改变斜率
-
二分斜率
-
描述 ‘切’
- 过凸包上每一个点做一条该斜率的直线
- 切点在 y 轴的截距最大/小（上/下凸包）
- \(kx + b的b最大/小\)
板子
- 段数越多， 答案越小
- 下凸包
- 最小化 \(f(x) - kx\)
- 实现？？？
