「学习笔记」扩展中国剩余定理 (EXCRT)
用途
解关于 \(x\) 的线性同余方程组. 形如
\[\left\{
\begin{aligned}
x &\equiv c_1 \pmod{p_1} \\
x &\equiv c_2 \pmod{p_2} \\
x &\equiv c_3 \pmod{p_3} \\
&\ \ \vdots \\
x &\equiv c_n \pmod{p_n} \\
\end{aligned}
\right.
\]
算法过程
主要思路
依次将相邻两个方程合并直到剩余一个方程, 最后的 \(c\) 即为方程组的一个特解。
具体操作
设现在我们有两个同余方程
\[\left\{
\begin{aligned}
x \equiv c_1 \pmod{p_1} \\
x \equiv c_2 \pmod{p_2} \\
\end{aligned}
\right.
\]
把它们化成不定方程形式, 得
\[\left\{
\begin{aligned}
x = k_1 \cdot p_1 + c_1 \\
x = k_2 \cdot p_2 + c_2 \\
\end{aligned}
\right.
\]
联立, 得
\[\begin{aligned}
k_1 \cdot p_1 + c_1 &= k_2 \cdot p_2 + c_2 \\
&\Downarrow \\
p_1 \cdot k_1 - p_2 \cdot k_2 &= c_2-c_1 \\
\end{aligned}
\]
可看作是关于 \(k_1,k_2\) 的不定方程. 我们可以用 exgcd 求出 \(k_1\) 的一个特解, 再根据 \(x = k_1 \cdot p_1 + c_1\) 求出 \(x\) 的一个特解 \(sx\). \(x\) 的通解就可以表示为.
\[\left\{
\begin{aligned}
x \equiv sx \pmod{p_1} \\
x \equiv sx \pmod{p_2} \\
\end{aligned}
\right.
\]
这两个式子中, \(x\) 出现的 "周期" 分别是 \(p_1\) 和 \(p_2\), 所以其交集出现的 "周期" 就是 \(lcm(p_1,p_2)\). 所以 \(x\) 可以表示为
\[x \equiv sx \pmod{lcm(p_1,p_2)}
\]
这样, 我们就成功地合并了两个方程.
按照上述过程, 我们将剩余的方程也依次合并, 最后合并得到的方程的 \(c\) 即为方程组的一个特解。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
ll n,p1,c1,p2,c2;
ll gi(){
ll x=0; char c=getchar();
while(!isdigit(c)) c=getchar();
while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
return x;
}
ll Exgcd(ll a,ll b,ll &x0,ll &y0){
if(!b){
x0=1,y0=0;
return a;
}
ll x1,y1,d=Exgcd(b,a%b,x1,y1);
x0=y1;
y0=x1-a/b*y1;
return d;
}
ll Mul(ll a,ll b,ll p){ return ((ull)a*b-(ull)((ld)a/p*b)*p+p)%p; } // 防止溢出
ll Solve(ll a,ll b,ll c){
ll x,y,d=Exgcd(a,b,x,y);
return Mul(c/d,x,b/d);
}
ll Gcd(ll a,ll b){ return !b ?a :Gcd(b,a%b); }
int main(){
n=gi();
p1=gi(),c1=gi();
for(int i=2;i<=n;i++){
p2=gi(),c2=gi();
ll k1=Solve(p1,p2,c2-c1),lcm=p1/Gcd(p1,p2)*p2;
c1=(Mul(k1,p1,lcm)+c1)%lcm,p1=lcm;
}
printf("%lld\n",c1);
return 0;
}
