二项式反演

二项式反演

常用结论

\[g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom ni f_i\Leftrightarrow f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom ni g_i\\ g_n=\sum_{i=0}^n\binom ni f_i\Leftrightarrow g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom ni f_i \]

反演

对于一个数列 \(f\)，若有另一个数列 \(g\) 满足

\[g_n=\sum_{i=0}^{n}a_if_i \]

反演即是求出

\[f_n=\sum_{i=0}^nb_ig_i \]

证明

引用

应用

可以应用于至少、至多和恰好选择方案数之间的转化。