CF1166E The LCMs Must be Large

CF1166E The LCMs Must be Large

思维好题，结论好题。

题意

一个长度为 \(n\) 的未知长度的序列，有 \(m\) 个限制，每个限制形如给定一个集合 \(S\) ，使集合内元素的 \(lcm\) 严格大于其补集元素的 \(lcm\) 。问是否存在这一序列。

思路

要注意我们是要尽可能使序列有解。

先给出结论：若所有集合两两间有交，则有解。否则一定无解。

首先有一个结论：若 \(A\subseteq B\)，那么 \(lcmB \geq lcmA\) 。

因为考虑 \(B\) 比 \(A\) 多的元素，只可能增加贡献而不可能减少贡献，所以上述结论显然。

然后我们回到题目：若一个限制的集合 \(A\) 与另一个限制的集合 \(B\) 不交，假设 \(lcmA>lcmA\setminus S\) (\(S\)表示整个序列集合)，那么一定有 \(B\subseteq A\setminus S\),即有 \(lcmA\setminus S\geq lcm B\) 。显然不符合要求。

然后证明结论的充分性。这里我们考虑一个构造的方法：假设所有元素初始都为1，我们将每个给定的集合内的元素都乘上一个互不相同的质数，那么如果集合两两相交，每个集合的\(lcm\)就是整个序列的\(lcm\)，并且每个集合的补集因为没有乘该集合的质数所以\(lcm\)一定小。如果有两个集合不相交，因为两个集合的质数不同，所以一定会出现一个集合的\(lcm\)大于另一个集合的情况，一定无解。

实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<bitset>
using namespace std;
inline int read(){
	int w=0,x=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
	while(isdigit(c))x=x*10+(c^48),c=getchar();
	return w?-x:x;
}
namespace star
{
	const int maxn=1e4+10;
	int m;
	bitset<maxn> a[55],now;
	inline void work(){
		m=read();read();
	    for (int x,i=1;i<=m;i++) {
	        x=read();
	        while(x--)
	        	a[i].set(read());
	        for (int j=1;j<i;j++) {
	            if ((a[i] & a[j]).none())
					return (void)puts("impossible");
	        }
	    }
	    puts("possible");
	}
}
signed main(){
	star::work();
	return 0;
}