第二类斯特林数

第二类斯特林数 \(n \brace m\) 表示 \(n\) 个元素放入 \(m\) 个集合（集合无标号，每个集合非空）的方案数

\({4\brace 2} = 8\)

\(\{1, 2\}\{3, 4\}, \{1\}\{2, 3, 4\}\)

\({n \brace m} = {n - 1 \brace m - 1} +m {n - 1\brace m}\)

\(O(n^2)\) 求出 \(i \brace j\) (\(1 \leq j \leq i \leq n\))

二项式反演

若 \(f_n=\sum_{i = 1}^n\binom{n}{i}(-1)^ig_i\)

则 \(g_n=\sum_{i = 1}^n\binom{n}{i}(-1)^if_i\)

若 \(f_n=\sum_{i = 1}^n\binom{n}{i}g_i\)

则 \(g_n=\sum_{i = 1}^n\binom{n}{i}(-1)^{n-i}f_i\)

---

\(m^n=\sum_{i=1}^m\binom{m}{i}{n \brace i}i!\)

\({n \brace m}=\frac{\sum_{i=1}^m\binom{m}{i}(-1)^{m-i}i^n}{m!}\)

\({n \brace m}=\sum_{i=1}^m\frac1{i!(m-i)!}(-1)^{m-i}i^n\)

\({n \brace m}=\sum_{i=1}^m\frac{(-1)^{m-i}}{(m-i)!}\frac{i^n}{i!}\)

\(A_i=\frac{(-1)^i}{i!},B_i=\frac{i^n}{i!}\)

\(A*B\) 求出 \({n\brace i}(1 \leq i \leq n)\)

---

斯特林数与上升幂/下降幂

上升幂 \(x^{\overline n}=\prod_{i=1}^n (x+i-1)\)

下降幂 \(x^{\underline n}=\prod_{i=1}^n (x-i+1)\)

\(x^n=\sum_{k=1}^n{n \brace k}x^{\underline k}\)

证明：\(x^{\underline n}\times (x-n) = x^{\underline {n + 1}}\)，\(x^n=x^{n-1}\times x\)

若已知 \(x^{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}{{n - 1} \brace k}x^{\underline k}\)

则

\[x^n=x\times x^{n-1}=x\sum_{k=1}^{n-1}{{n - 1} \brace k}x^{\underline k} \]

\[=\sum_{k=1}^{n-1}{{n - 1} \brace {k}}x^{\underline {k+1}}+\sum_{k=1}^{n-1}{{n-1} \brace k}kx^{\underline k} \]

\[=\sum_{k = 1}^{n-1}(k{{n - 1\brace k}}+{{n-1} \brace {k-1}})x^{\underline k} \]

\[=\sum_{k=1}^n{n \brace k}x^{\underline k} \]

---

CF932E Team Work

求 \(\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}i^k\)，\(k \leq 10^6, n \leq 10^9\)。

\[Ans=\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}i^k=\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}\sum_{j=1}^k{k \brace j}i^{\underline j} \]

\[=\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}\sum_{j=1}^k{k \brace j}\frac{i!}{(i-j)!}=\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}\sum_{j=1}^k{k \brace j}\binom{i}{j}j! \]

\[=\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}\sum_{j=1}^k{k \brace j}\binom{i}{j}j!=\sum_{j=1}^kj!{k \brace j}\sum_{i=j}^n\binom{n}{i}\binom{i}{j} \]

\[\binom{n}{i}\binom{i}{j}=\binom{n}{j}\binom{n - j}{i - j} \]

\[Ans=\sum_{j=1}^kj!{k \brace j}\sum_{i=j}^n\binom{n}{i}\binom{i}{j}=\sum_{j=1}^kj!{k \brace j}\sum_{i=j}^n\binom{n}{j}\binom{n - j}{i - j} \]

\[=\sum_{j=1}^kj!{k \brace j}\binom{n}{j}\sum_{i=j}^n\binom{n - j}{i - j}=\sum_{j=1}^kj!{k \brace j}\binom{n}{j}2^{n-j} \]

求出 \(k \brace i\)(\(1 \leq i \leq k\)) 即可。

时间复杂度 \(O(k \log k)\)。

有 \(O(k)\) 的方法，过于复杂，读者可自行尝试。