CF edu 175 刷题笔记

\(\texttt{A}\)

记数值为 \(x\) 的时候，模 \(3\) 和模 \(5\) 的结果一致。

易知：要使 \(x\) 后再次出现模 \(3\) 和 模 \(5\) 结果一致的情况，需要经过最小公倍数 \(15\)。

那么满足的条件的数就是 \(a + 15b,a\in \{0,1,2\}, b\in\mathbb{Z}\)，直接统计即可。

\(\texttt{B}\)

想到了王国边缘这道题，一开始还以为是倍增，后面想了想发现直接模拟就行了。

首先看能不能走到 \(0\)，若不能走到，那么直接输出 \(0\)；若可以走到，再看它能否还能回到 \(0\)，若能，则统计步数 \(cnt\)，那么答案就是 \(\frac{k}{cnt} + 1\)，否则答案为 \(1\)。

\(\texttt{C}\)

其实我这道题做复杂了（还是太爱 st 表了）。

还是讲一下原先的思路吧。首先有两个 observation：

\(1\). 覆盖的区间端点一定都是蓝色；
\(2\). 一定不会重复覆盖某个点。

补：对于 \(1\)，其实后来才发现有时端点为红色也行，但是向上面那样考虑在做法上是没有问题的。

又不难发现答案是具有单调性的，所以想到二分答案，每次断定一个答案 \(limit\)，然后“尝试去覆盖”那些惩罚值比它大的蓝色块（后称为“需改变块”），若最后覆盖次数小于等于 \(k\) 就可以，否则不行。

这个“尝试覆盖”的话就是当我们考虑以 \(i\) 为左端点覆盖时，在不影响最终结果的条件下尽量地多覆盖“需改变块”，那么就需要从远到近地考虑，同时看覆盖段中有没有红块的惩罚值比当前答案大，若有就不能这么覆盖，继续考虑下一个较近的“需改变块”，直到可以覆盖为止。

但是我们直接枚举这样的块是不行的，需要用双指针进行优化，预处理出所有“需改变块”最远能覆盖的位置。至于看覆盖段中有没有红块的惩罚值比当前答案大就可以用 st 表进行维护，总的时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。

后来看了题解才发现根本不用 st 表，因为覆盖的这一段开头一定是“需改变块”，段中一定是蓝色的，或者红色的但是惩罚值 \(\le limit\) 的（改了以后答案不会 $ > limit$）。

在 check 时直接用双指针判断就行了。

\(\texttt{D}\)

vp 时没做出来，主要是不知道状态如何设计，后面看题解理解了。

求树上合法路径数目，很容易想到树形 dp，那么在集合划分时可以依据路径的终点或起点来划分，这里多选择用终点划分（可以类比子序列问题）。

具体地，设 \(f_i\) 表示以节点 \(i\) 结尾的路径条数，那么答案就是 \(\sum\limits_{i = 1}^{n}f_i\)。

由于从根出发可以到所有相邻点，所以把这些点的 \(f_i\) 全部初始化为 \(0\)，接着考虑其他的点只能从上一层的非父亲节点走来，所以易得 \(f_i\) 就等于上一层的 \(f\) 之和减去其父节点的 \(f\)。