CF edu 173 刷题笔记

\(\texttt{A}\)

简单数学题。

图形画出来是一个满二叉树，所以数层数就好了，能除以多少个 \(4\) 就有多少层，然后答案就是 \(2\) 的这个次幂。

\(\texttt{B}\)

考察整除的性质。

由于只需考虑 \(1\sim 9\) 中的奇数，所以一个一个来看。

\(1\) 肯定能被整除。

被 \(3\) 整除的条件是所有数位上的数相加是 \(3\) 的倍数，给定的数的数位和为 \(d\cdot n!\)，显然在 \(n\ge 3\) 时一定包含因子 \(3\)，即此时一定能被 \(3\) 整除。除此之外能整除的条件就是 \(d\) 为 \(3\) 的倍数。

被 \(5\) 整除的数需要末尾为 \(0\) 或 \(5\)，所以只有当 \(d = 5\) 时才行。

被 \(7\) 整除的数需要将原数三位截断后奇偶段做差后也为 \(7\) 的倍数。当 \(n\ge 3\) 时这个差都是 \(0\)，一定整除；否则就只有 \(d = 7\) 时行。

被 \(9\) 整除的条件和 \(3\) 相似，所有数位上的数相加是 \(9\) 的倍数，显然在 \(n\ge 6\) 时一定包含因子 \(9\)，即此时一定能被 \(9\) 整除。除此之外能整除的条件就是 \(d\) 为 \(9\) 或 \(n\ge 3\) 且 \(d\) 是 \(3\) 的倍数。

if 语句写一下就行了。

\(\texttt{C}\)

(在大佬 Hagasei 的悉心指导下会做了)

\(\texttt{tip:}\)

他曾说：“对于序列上的数区间问题，无非就固定一个端点和分治，放在 \(\texttt{C}\) 题多半都是固定端点。”

同时还要注意题目条件的特殊性。

看到序列中除了一个位置 \(a_i\in[-10^9, 10^9]\)，其他都是 \(1\) 或 \(-1\)，那么不妨先考虑全为 \(1\) 或 \(-1\) 的情况。

题目要求所有的区间和的值域，在这样的序列上，假设我们已经找到了一个区间 \([l, r]\)，那么将左端点或右端点移动一格，取值都只会变化 \(+1\) 或 \(-1\)，所以这个值域一定是一个连续的整数段，也就是说中间是不可能出现断层的。既然如此，我们就找出上下界，说白了对原序列各求一遍最大子段和和最小子段和即可。

接着考虑有一个特殊值的情况。

这时候不妨分类讨论子段和的包含对象。分为两类：包含此特殊值的和不包含她的，最后答案取并集即可。不包含的上面已经考虑过了，所以现在只用考虑包含她的，也可以分为两部分，分别是在她左边和在她右边。和上面的分析相同，我们也要找包含她的最大/最小子段和，又有：

最大子段和 \(=\) 左边最大后缀和 \(+\) 右边最大前缀和；

最小子段和 \(=\) 左边最小后缀和 \(+\) 右边最小前缀和。

这样一来这道题就解决了。

\(\texttt{D}\)

一道神奇的题目。

看到题的一瞬间就想到令 \(A = \lambda G,b = \mu G,A < B\)，那么即求最大的 \(\mu - \lambda\) 且 \(\lambda \perp \mu\)。

暴力地思考，找到 \(\lambda,\mu\) 的取值范围，然后猜想取最大值时 \(\lambda\) 距离左端点不会太远，暴力枚举 \(100\) 次，结果就这样过了……

（实际上复杂度是对的，直接暴力做也能过）

证明还是看题解吧