[BZOJ2037][Sdoi2008]Sue的小球

Description

Sue和Sandy最近迷上了一个电脑游戏，这个游戏的故事发在美丽神秘并且充满刺激的大海上，Sue有一支轻便小巧的小船。然而，Sue的目标并不是当一个海盗，而是要收集空中漂浮的彩蛋，Sue有一个秘密武器，只要她将小船划到一个彩蛋的正下方，然后使用秘密武器便可以在瞬间收集到这个彩蛋。然而，彩蛋有一个魅力值，这个魅力值会随着彩蛋在空中降落的时间而降低，Sue要想得到更多的分数，必须尽量在魅力值高的时候收集这个彩蛋，而如果一个彩蛋掉入海中，它的魅力值将会变成一个负数，但这并不影响Sue的兴趣，因为每一个彩蛋都是不同的，Sue希望收集到所有的彩蛋。 然而Sandy就没有Sue那么浪漫了，Sandy希望得到尽可能多的分数，为了解决这个问题，他先将这个游戏抽象成了如下模型： 以Sue的初始位置所在水平面作为x轴。 一开始空中有N个彩蛋，对于第i个彩蛋，他的初始位置用整数坐标（xi, yi）表示，游戏开始后，它匀速沿y轴负方向下落,速度为vi单位距离/单位时间。Sue的初始位置为(x0, 0)，Sue可以沿x轴的正方向或负方向移动，Sue的移动速度是1单位距离/单位时间，使用秘密武器得到一个彩蛋是瞬间的，得分为当前彩蛋的y坐标的千分之一。 现在，Sue和Sandy请你来帮忙，为了满足Sue和Sandy各自的目标，你决定在收集到所有彩蛋的基础上，得到的分数最高。

Input

第一行为两个整数N, x0用一个空格分隔，表示彩蛋个数与Sue的初始位置。 第二行为N个整数xi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始横坐标。 第三行为N个整数yi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始纵坐标。 第四行为N个整数vi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋匀速沿y轴负方向下落的的速度。

Output

一个实数，保留三位小数，为收集所有彩蛋的基础上，可以得到最高的分数。

Sample Input

3 0
-4 -2 2
22 30 26
1 9 8

Sample Output

0.000


数据范围：
N < = 1000，对于100%的数据。 -10^4 < = xi,yi,vi < = 10^4

 

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这类DP十分经典，和之前做过的一道关路灯的题十分相似。

这类DP的特点就是当前的决策对未来的答案产生影响。

解决方法就是在转移的时候同时将其对未来的影响同时转移。

我们设$f[i][j][0/1]$表示处理完了$i$到$j$区间中的问题，目前在$i$还是在$j$的最小损失。

那么我们考虑转移， 像上面说的那样，我们转移这一步的时候，顺便把未来的影响也计算进去。

那么$f[i][j][0] = min(f[i+1][j][0]+(x[i+1]-x[i])*(cost(1,i)+cost(j+1, n)), f[i+1][j][1]+(x[j]-x[i])*(cost(1,i)+cost(j+1,n)))$

$f[i][j][1]$类似上面转移。

 

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#include <iostream>
#include <cstdio> 
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
inline char gc() {
    static const int bs = 1 << 22;
    static unsigned char buf[bs], *st, *ed;
    if (st == ed) ed = buf + fread(st = buf, 1, bs, stdin);
    return st == ed ? EOF : *st++;
}
#define gc getchar
inline int read() {
    int res=0;char ch=gc();bool fu=0;
    while(!isdigit(ch))fu|=(ch=='-'), ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48), ch=gc();
    return fu?-res:res;
}
#define reg register

int n, m;
struct date {
    int x, y, v;
    bool operator < (const date &a) const {
        return x < a.x;
    }
}da[1005];
int sum[1005];
int tot;
int f[1005][1005][2];

int main()
{
    n = read(), m = read();
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) da[i].x = read();
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) da[i].y = read();
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) da[i].v = read();
    da[++n] = (date){m, 0, 0};
    sort(da + 1, da + 1 + n);
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        sum[i] = sum[i - 1] + da[i].v, tot += da[i].y;
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        if (da[i].x == m and da[i].y == 0 and da[i].v == 0) f[i][i][0] = f[i][i][1] = 0;
    for (reg int l = 2 ; l <= n ; l ++)
    {
        for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        {
            int j = i + l - 1;
            if (j > n) break;
            f[i][j][0] = min(f[i + 1][j][0] + (sum[i] + sum[n] - sum[j]) * (da[i + 1].x - da[i].x) , f[i + 1][j][1] + (sum[i] + sum[n] - sum[j]) * (da[j].x - da[i].x));
            f[i][j][1] = min(f[i][j - 1][1] + (sum[i - 1] + sum[n] - sum[j - 1]) * (da[j].x - da[j - 1].x), f[i][j - 1][0] + (sum[i - 1] + sum[n] - sum[j - 1]) * (da[j].x - da[i].x));
        }
    }
    int ans = tot - min(f[1][n][1], f[1][n][0]);
    printf("%.3lf\n", 1.0 * ans / 1000);
    return 0;
}