[BZOJ2440][中山市选2011]完全平方数
题目描述
小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？
输入输出格式
输入格式：包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 TTT ，表示测试数据的组数。 第 222 至第 T+1T+1T+1 行每行有一个整数 KiK_iKi ，描述一组数据，含义如题目中所描述。
输出格式：含T 行，分别对每组数据作出回答。第 iii 行输出相应的第 KiK_iKi 个不是完全平方数的正整数倍的数。
输入输出样例
4 1 13 100 1234567
1 19 163 2030745
说明
对于 50%的数据有 1≤Ki≤1051 ≤ K_i ≤ 10^51≤Ki≤105 , 对于 100%的数据有 1≤Ki≤109,T≤501 ≤ K_i ≤ 10^9, T ≤ 501≤Ki≤109,T≤50
伤心，从入坑就开始陪着我的U盘，在3个小时前于河北省图书馆遗失，我忍着万分的悲痛，写下了这篇题解。
直接二分答案mid，把题目变成在1~mid中是否有k个数满足要求。
然后我们就考虑怎么求有多少个数满足要求。
我们回顾一下莫比乌斯函数的定义。
①若d=1,μ(d) = 1;
②若d=p1*p2*...*pk, pi均为不同的质数，那么μ(d)=(-1)^k;
③其他情况μ(d) = 0；
题目所要求的没有平方因子就 代表着μ != 0。
然后答案就是n - 只有2个质因子的数的平方的倍数的个数(1不算质因子) + 只有3个质因子的数的平方的倍数的个数 - 只有4个质因子的数的平方的倍数的个数.......
为什么？举个例子：
设 x1 = p1, x2 = p1 * p2;
那么x1^2=p1^2, x2^2 = p1^2 * p2^2;
我们发现，x2^2在x1^2的p2^2倍的时候被计算过了一次...
根据容斥原理得出上列式子，然后我们如何计算呢？
容易发现，式子前面的符号，恰好就是莫比乌斯函数，即乘积a前面的符号是μ(a);
所以计算的式子为Σ(i:1~sqrt(mid)) (mid/i^2);
做完了...
还是放不下...我的课件我的截图我的表情我的模板我的照片全在里面QAQ。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> using namespace std; #define int long long bool vis[50005]; int miu[50005], prime[50005], top; inline int calc(int mid) { int sum = 0; for (register int i = 1 ; i * i <= mid ; i ++) sum += miu[i] * mid / (i * i); //printf("%d\n", sum); return sum; } signed main() { miu[1] = 1; for (register int i = 2 ; i < 50000 ; i ++) { if (!vis[i]) { prime[++top] = i; miu[i] = -1; } for (register int j = 1 ; j <= top and i * prime[j] < 50000 ; j ++) { vis[i*prime[j]] = 1; if (i % prime[j]) miu[i*prime[j]] = - miu[i]; else { miu[i*prime[j]] = 0; break; } } } int T; scanf("%lld", &T); while(T--) { int k; scanf("%lld", &k); int l = 1, r = k << 1; int ans = 0; while(l <= r) { int mid = l + r >> 1; if (calc(mid) >= k) r = mid - 1, ans = mid; else l = mid + 1; } printf("%lld\n", ans); } return 0; }
