NOIP2009 Hankson 的趣味题 ： 数论

题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整数 x 满足：

1． x 和 a0 的最大公约数是 a1；

2． x 和 b0 的最小公倍数是 b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入输出格式

输入格式：

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

输出格式：

输出文件 son.out 共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；

若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

输入输出样例

输入样例#1： 

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

输出样例#1： 

6 
2

说明

【说明】

第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。

第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且 n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

NOIP 2009 提高组 第二题

// 来源：洛谷

 

 

进行一波数学推导：

 

gcd(x, a0) = a1

—> x = k1 * a1,    a0 = k 2 * a1;

—> gcd(k1, k2) = 1

　　pf : 假设gcd(k1, k2) != 1;

　　　　设K = gcd(k1, k2);

　　　　->k1 = K * p,   k2 = K * q;

　　　　->x = p * K * a1,   a0 = q * K * a1;

　　　　->gcd(x, a0) = K * a1 != a1;

　　　　 假设不成立；

所以 ： gcd(x, y) = k  -> gcd(x / k , y / k ) = 1;

 

gcd(x / a1, a0 / a1) = 1;

 

接着

lcm(x, b0) * gcd(x, b0) = x * b0;

—> gcd(x, b0) = x * b0 / b1;

—> gcd(b1 / b0 , b1 / x) = 1;

 

仔细研究上面的两个等式 ： x 是 a1 的倍数， x 是 b1 的约数；

 

可以枚举b1的约数， 然后判断上边两个等式， 成立就++；

 

代码：

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define ing long long 

int T, n;
int a0, a1, b0, b1;


int Gcd(int x, int y)
{
    return y == 0 ? x : Gcd(y, x % y);
}

signed main()
{
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        int cnt = 0;
        scanf("%lld%lld%lld%lld", &a0, &a1, &b0, &b1);
        
        
        for(register int i = 1 ; i * i <= b1 ; i ++)
        {
            if(b1 % i != 0) continue;
            
            int g = Gcd(i / a1 , a0 / a1);
            int gg = Gcd(b1 / b0, b1 / i);
            
            if(i % a1 == 0 && g == 1 && gg == 1) 
            {
                cnt++;
            }
            
            int j = b1 / i;
            
            if(i == j) continue;
            
            
            int c = Gcd(j / a1, a0 / a1);
            int cc = Gcd(b1 / b0, b1 / j);
            
            if(j % a1 == 0 && c == 1 && cc == 1) cnt++;
            
        }
        
        printf("%lld\n", cnt);
    }
    return 0;
    
}