约瑟夫环问题的递归实现
约瑟夫环问题有很多实现方法,迭代啦,递归啦。
这里主要介绍一下递归的方法。
假设:
初始情况: 0, 1, 2 ......n-2, n-1 (共n个人)
第一个人(编号一定是(m-1)%n,设之为(k-1) ) 出列之后,
剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k==m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ...,k-3, k-2
现在我们把他们的编号做一下转换:
x' -> x (x‘代表新编号,x代表原编号 k==m%n)
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗!
x ->x'?(这正是从n-1时的结果反过来推n个人时的编号!)
0 -> k
1 -> k+1
2 -> k+2
...
...
n-2 -> k-2
变回去的公式 x'=(x+k)%n
那么,如何知道(n-1)个人报数的问题的解?只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?只要知道(n-3)的情况就可以了 ---- 这显然就是一个递归问题:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果就是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[n]=(f[n-1]+k)%n = (f[n-1] +m%n) % n = (f[n-1] + m) % n ; (n>1)
当然,当n==1时,直接返回0即可
代码如下:
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 int Josephus(int n,int m){ 5 if(n>1){ 6 return (m+Josephus(n-1,m))%n; 7 } 8 else{ 9 return 0; 10 } 11 } 12 int main() 13 { 14 int n,m; 15 scanf("%d %d",&n,&m); 16 int result=Josephus(n,m); 17 printf("%d",result+1); 18 19 return 0; 20 }
有些目标看似很遥远,但只要付出足够多的努力,这一切总有可能实现!