微积分

极限

定义不说了，懒。

一、两个重要极限

\[\begin{aligned} 1.&\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\\ 2. & \lim_{x\to0}\left(1+x\right)^\frac1x=e\\ &\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e\\ \end{aligned} \]

就只能暂且记住，证明有空补。

例 \(1.1\)：求 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}\sin\left(\frac{1}{n}\right)\)。

解：

\[\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}\sin\left(\frac{1}{n}\right) &=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n}}{(n+1)^n}n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1+\frac1n)^n}\frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac1n}\\ &=\frac1e \cdot 1\\ &=\frac1e \end{aligned} \]

二、基本方法求极限

定义两个多项式 \(\displaystyle F(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\) 和 \(\displaystyle G(x)=\sum_{i=0}^m b_ix^i\)。

若所求极限为 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{F(x)}{G(x)}\)：

• 如果 \(n>m\)，答案为 \(\infty\)。
• 如果 \(n<m\)，答案为 \(0\)。
• 如果 \(n=m\)，答案为 \(\dfrac{a_n}{b_m}\)。

例 \(1.2\)：求 \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)^x\)

\[\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)^x &=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{2x+1}\right)^x\\ &=\lim_{x\to\infty}\left[\left(1+\frac{2}{2x+1}\right)^{\frac{2x+1}{2}}\right]^\frac{2x}{2x+1}\\ &=\lim_{x\to\infty} e^{\frac{2x}{2x+1}}\\ &=e^{\frac{2}{2}}\\ &=e \end{aligned} \]

三、等价无穷小

在一定条件下，且 \(x\) 趋近于无穷小，式子可以被代还。

乘除环境下：直接代。

加减环境下：在一定条件下能代（具体之后会讲）。

常用等价无穷小

\(x\sim \sin x\sim\tan x\sim\arctan x\sim\ln(x+1)\sim e^x-1\)

\((x+1)^a-1\sim ax\)

\(x-\ln(x+1)\sim 1-\cos x\sim \frac12 x^2\)

\(a^x-1\sim x\ln a\)

\(\arcsin x-x\sim x-\sin x\sim \frac16 x^3\)

\(x-\arctan x\sim\tan x-x\sim \frac13x^3\)

例 \(1.3\)：求 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}\)

\[\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2} &=\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x^2}\\ &=\lim_{x\to0}-\frac{1-\cos x}{x^2}\\ &=\lim_{x\to0}-\frac{\frac12 x^2}{x^2}\\ &=-\frac12 \end{aligned} \]

四、泰勒展开

泰勒展开是什么

简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数。

如果一个非常复杂函数，想求其某点的值，直接求无法实现，这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值，这是泰勒公式的应用之一。

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泰勒公式的推导

\(\Delta:\) 本部分（泰勒公式的推导）内容用到之后内容，可跳过。

先提出一个具体问题：

给定函数 \(f(x)\)，要求找一个在 \(x_0\) 附近且与 \(f(x)\) 类似的多项式函数 \(g(x)\)。

\(n\) 次多项式函数 \(g(x)\) 记为：\(\displaystyle g(x)=\sum_{i=0}^na_i(x-x_0)^i\)，且 \(f(x)-g(x)=R_n(x)\) 可估计。

所以要找的多项式应该满足什么条件，\(R_n(x)\) 是什么？

• 首先要求两曲线在 \((x_0,f(x_0))\) 相交，\(g(x_0)=f(x_0)\)。

• 逼近要求两曲线在 \((x_0,f(x_0))\) 相切，\(g'(x_0)=f'(x_0)\)。

• 再逼近要求两曲线在点弯曲方向相同，\(g''(x_0)=f''(x_0)\)。

• \(\dots\)

• 不断逼近可以发现 \(g^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)\) 会更优。

考虑导 \(g\)：\(\displaystyle g^{(k)}(x_0)=k!a_k\Rightarrow a_k=\frac{g^{(k)}(x_0)}{k!}=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\)

误差 \(R_n(x)=f(x)-g(x)\)。

最后泰勒公式：

\[\begin{aligned} f(x)=\left(\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}\right)+R_n(x)\\ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}(x_0\le\xi\le x_0+1) \end{aligned} \]

其中 \(R_n(x)\) 称为余项，以上是拉格朗日余项，其他还有很多，但大多等价。

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常见泰勒展开

常见泰勒展开

\(\displaystyle e^x=\sum_{i=0}^n \frac{x^i}{i!}+R_n(x)\)

\(\displaystyle \sin x=\sum_{i=0}^n (-1)^i\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}+R_{2n+1}(x)\)

\(\displaystyle \cos x=\sum_{i=0}^n (-1)^i\frac{x^{2i}}{(2i)!}+R_{2n}(x)\)

\(\displaystyle\tan x=x+\frac{x^3}3 +\frac{2x^5}{15}+R_3(x)\)

\(\displaystyle \ln (x+1)=\sum_{i=0}^n (-1)^i\frac{x^{i+1}}{i+1}+R_{n+1}(x)\)

\(\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^n x^i+R_{n}(x)\)

\(\displaystyle (x+1)^a=\sum_{i=0}^n \frac{a!x^i}{i!(a-i)!}+R_{n}(x)\)

例 \(1.4\)：求 \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}\)

\[\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}&=\lim_{x\to0}\frac{x-\frac{x^3}6-x-\frac{x^3}3}{x^3}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^3}{2}}{x^3}\\ &=-\frac12 \end{aligned} \]

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等价无穷小与泰勒展开

首先看这张表格：

函数	泰勒展开	等价无穷小
\(e^x-1\)	\(\displaystyle x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+R_n(x)\)	\(x\)
\(\sin x\)	\(\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}+\dots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_{2n+1}(x)\)	\(x\)
\((x+1)^a-1\)	\(\displaystyle ax+\frac{a(a-1)x^2}{2!}+\dots+\frac{a!x^n}{n!(a-n)!}+R_{n}(x)\)	\(ax\)

发现了吗，等价无穷小就是取了泰勒展开的第一项！

接下来让我们看看泰勒展开的例题用错误的等价无穷小做会怎么样：

\[\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}&=\lim_{x\to0}\frac{x-x}{x^3}\\ &=0 \end{aligned} \]

• 仔细想想错在哪了。

  错在 \(\sin x\) 与 \(\tan x\) 的泰勒展开第一项均为 \(x\)，它们抵消了。

  这时候，由于分母是 \(x^3\)，所以需要补上 \(\sin x\) 与 \(\tan x\) 的第二项继续。

  但是等价无穷小只管第一项，那就变成 \(0\) 了。

• 再来想想乘除为什么对。

  因为不管你怎么乘，第一项消不掉啊。

• 最后想想什么情况下加减能用。

  当然是加减时泰勒展开式第一项抵消不掉的情况下。

  具体的：

  已知 \(S=\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\) 存在，\(f(x)\sim F(x),g(x)\sim G(x)\)。

  若 \(S\neq-1\)，\(f(x)+g(x)\sim F(x)+G(x)\)。

五、洛必达法则

\(\Delta\)：本章（“五、洛必达法则”）运用导数相关知识，如有需要，请暂时跳过，学习“导数”相关内容后再学习。

遇到了 \(\frac00\) 或 \(\frac\infty\infty\) 就可以考虑用洛必达，其他情况也可以考虑。

\[\lim_{x\to k}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to k}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]

例 \(1.5.1\)：求 \(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{\ln\cos (x-1)}{1-\sin\left(\frac\pi2x\right)}\)

\[\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{\ln\cos (x-1)}{1-\sin\left(\frac\pi2x\right)}&=\lim_{x\to 1}\frac{-\sin(x-1)}{-\cos(x-1)\frac\pi2\cos\left(\frac\pi2x\right)}\\ &=\frac2\pi \lim_{x\to 1}\frac{\tan(x-1)}{\cos\left(\frac\pi2x\right)}\\ &=-\frac4{\pi^2}\lim_{x\to 1}\frac{1}{\sin\left(\frac\pi2x\right)}\\ &=-\frac4{\pi^2} \end{aligned} \]

例 \(1.5.2\)：求 \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{e^x x+e^x}{e^x-1}-\frac{1}{x}\right)\)

\[\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{e^x x+e^x}{e^x-1}-\frac{1}{x}\right)&=\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^x x+e^x}{e^x-1}-\frac{1}{x}\right)\frac{e^x-1}{x}\\ &=\lim_{x\to0}\left(\frac{e^xx+e^x}{x}-\frac{e^x-1}{x^2}\right)\\ &=\lim_{x\to0}\left(\frac{e^xx^2+e^xx-e^x+1}{x^2}\right)\\ &=\lim_{x\to0}\left(\frac{e^x(x^2+x-1)+1}{x^2}\right)\\ &=\lim_{x\to0}\left(\frac{e^x(x^2+3x)}{2x}\right)\\ &=\frac{3}{2} \end{aligned} \]

六、夹逼定理

若三个函数 \(f(x),g(x),h(x)\) 满足 \(f(x)<g(x)<h(x)\)，且 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}h(x)=k\)；

那么 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)=k\)。

例 \(1.6\)：求 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{i}{n^2+i}\)

构造：

\[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{i}{n^2+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2+n}2}{n^2+n}=\frac12\\ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{i}{n^2+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2+n}2}{n^2+1}=\frac12\\ \end{aligned} \]

所以

\[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{i}{n^2+i}=\frac12 \end{aligned} \]

导数

一、什么是导数

导数就是“导函数”，表示函数的变化趋势，一个函数 \(f(x)\) 的导函数表示为 \(f'(x)\)。

可以简单的理解为 “函数在某处的切线的斜率”。

有一个形式化定义：\(f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)。

例：速度

一物体匀直运动，\(s=vt\)，速率 \(v\) 就是距离 \(s\) 随 \(t\) 的变化率，距离 \(s\) 可以看作是时间 \(t\) 的函数 \(f(x)=vx\)。

这里 \(v\) 就是函数的变化率，该函数的导数就是：\(f'(x)=v\)。

可以发现，第式子中距离关于时间的变化率：是速率。

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例：自由落体

一物体自由落体，\(v=gt\)，看做 \(g(x)=9.8x\)，根据上面的例子，不难得出 \(g'(x)=9.8\)。

但是还有另一个公式 \(s=\frac{gt^2}{2}\)，看做 \(f(x)=\frac{9.8x^2}{2}\) ，根据上面的对应方法 \(f'(x)=9.8x\)（先利用结论）

因此 \(f'(x)=g(x)\)。

可以发现，第二个式子中距离关于时间的变化率：是速率。

二、基本函数求导

速通

\(f(x)=\)	\(f'(x)=\)
\(c\)	\(0\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\ln a\)
\(\ln x\)	\(\dfrac{1}{x}\)
\(\log_a{x}\)	\(\dfrac{1}{x\ln a}\)
\(x^a(a\neq0 )\)	\(ax^{a-1}\)
\(\sin{x}\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tan x\)	\({\sec^2 x}\)
\(\cot x\)	\(-\csc^2 x\)
\(\sec x\)	\(\sec x\tan x\)
\(\csc x\)	\(-\csc x\cot x\)
\(\arcsin x\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arccos x\)	\(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arctan x\)	\(\dfrac{1}{1+x^2}\)
\(\operatorname{arccot} x\)	\(-\dfrac{1}{1+x^2}\)
\(\sinh x\)	\(\cosh x\)
\(\cosh x\)	\(\sinh x\)
\(\tanh x\)	\(\operatorname{sech}^2 x\)
\(\coth x\)	\(-\operatorname{csch}^2 x\)
\(\operatorname{sech} x\)	\(-\operatorname{sech} x\tanh x\)
\(\operatorname{csch} x\)	\(-\operatorname{csch} x\coth x\)
\(\operatorname{arsinh} x\)	\(\displaystyle \frac1{\sqrt{1+x^2}}\)
\(\operatorname{arcosh} x\)	\(\displaystyle \frac1{\sqrt{x^2-1}}\)
\(\operatorname{artanh} x\)	\(\dfrac{1}{1-x^2}\)
\(\operatorname{arcoth} x\)	\(\dfrac{1}{x^2-1}\)

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常数函数 \(f(x)=c\)（\(c\) 为常数）

常数函数变化率为 \(0\)。

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指数函数 \(f(x)=a^x\)

\[\begin{aligned} (a^x)'&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{a^{(x+\Delta x)}-a^x}{\Delta x }\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}a^x\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x }\\ \end{aligned} \]

令 \(t=a^{\Delta x}-1\)，那么 \(\log_a{(t+1)}=\Delta x\)。

所以，原式

\[\begin{aligned} &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}a^x\dfrac{t}{\log_a{(t+1)}}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}a^x\ln a\dfrac{t}{\ln{(t+1)}}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}a^x\ln a\dfrac{1}{\frac1t\ln{(t+1)}}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}a^x\ln a\dfrac{1}{\ln{\left(\left(1+t\right)^{\frac1t}\right)}}\\ \end{aligned} \]

根据重要极限 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}(1+x)^{\frac{1}x}=e\)，可以得到，原式

\[\begin{aligned} &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}a^x\ln a\dfrac{1}{\ln{e}}\\ \end{aligned} \]

即 \((a^x)'=a^x\ln a\)。

当 \(a=e\)，即 \(f(x)=e^x\) 时 \(f'(x)=e^x\)。

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对数函数 \(f(x)=\log_ax\)

\[\begin{aligned} (\log_a(x))'&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\log_a{(x+\Delta x)}-\log_a{x}}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\log_a{\left(x\left(1+\frac{\Delta x} x\right)\right)}-\log_a{x}}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\log_a{\left(1+\frac{\Delta x} x\right)}+\log_a{x}-\log_a{x}}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{1}{x\ln a}\cdot\dfrac{\log_a{\left(1+\frac{\Delta x} x\right)}}{\frac{\Delta x} x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{1}{x\ln a}\cdot\dfrac{\ln{\left(1+\frac{\Delta x} x\right)}}{\frac{\Delta x} x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{1}{x\ln a}\ln{\left(\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}}\right)}\\ \end{aligned} \]

根据重要极限 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}(1+x)^{\frac{1}x}=e\)，可以得到，原式

\[\begin{aligned} &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{1}{x\ln a}\ln{e}\\ \end{aligned} \]

即 \((\log_a x)'=\dfrac1{x\ln a}\)。

当 \(a=e\)，即 \(f(x)=\ln x\) 时 \(f'(x)=\dfrac1x\)。

---

单项式函数 \(f(x)=x^a(a\neq0)\)

\[\begin{aligned} (x^a)'&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{(x+\Delta x)^a-x^a}{\Delta x }\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\left[x\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)\right]^a-x^a}{\Delta x }\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}x^a\dfrac{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^a-1}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}x^{a-1}\dfrac{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^a-1}{\frac{\Delta x}{x}}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}x^{a-1}\dfrac{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^a-1}{\log_{k}{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}}\dfrac{\log_{k}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\frac{\Delta x}{x}}\\ \end{aligned} \]

令 \(t=\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^a-1\)，那么 \(\log_{k}{(t+1)}=a\log_k{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}\)（换底）

所以 \(\log_k{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}=\dfrac{\log_{k}{(t+1)}}a\)。

所以，原式

\[\begin{aligned} &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}x^{a-1}\dfrac{t}{\frac{\log_{k}{(t+1)}}a}\dfrac{\log_{k}{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}}{\frac{\Delta x}{x}}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}ax^{a-1}\dfrac{t}{\log_{k}{(t+1)}}\dfrac{\log_{k}{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}}{\frac{\Delta x}{x}} \end{aligned} \]

当 \(\Delta x\to0\) 时，\(t\to0\)，\(\dfrac{t}{\log_{k}{(t+1)}}=\dfrac{1}{(\log_k1)'},\dfrac{\log_{k}{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}}{\frac{\Delta x}{x}}=(\log_{k}1)'\)。

即 \((x^a)'=ax^{a-1}\)

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三角函数 \(f(x)=\sin x\)

\[\begin{aligned} (\sin x)'&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x }\\ \end{aligned} \]

差化积：

\[\begin{aligned} &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{2\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x }\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}\\ \end{aligned} \]

根据重要极限 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x}=1\)，原式

\[\begin{aligned} &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\\ \end{aligned} \]

即 \((\sin x)'=\cos(x)\)。

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三角函数 \(f(x)=\cos x\)

\[\begin{aligned} (\sin x)'&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x }\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{-2\sin(x+\frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x }\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}-\dfrac{\sin(x+\frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}\\ \end{aligned} \]

根据重要极限 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x}=1\)，原式

\[\begin{aligned} &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}-\sin(x+\frac{\Delta x}{2})\\ \end{aligned} \]

即 \((\cos x)'=-\sin(x)\)。

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三角函数 \(f(x)=\tan x\)

学习（三）之后容易推导。

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反三角函数

学习（五）之后容易推导。

三、导数运算法则

速通

导数运算法则

\(g(x)=a\cdot f(x),g'(x)=a\cdot f'(x)\)

\([f(x)\pm g(x)]'=f'(x)+g'(x)\)

\([f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)

\(\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}\)

\(h(x)=f(g(x)),h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\)

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乘常数

\(g(x)=a\cdot f(x),g'(x)=a\cdot f'(x)\)

推导：

\[\begin{aligned} g'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &=\lim \limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{a\cdot f(x+\Delta x)-a\cdot f(x)}{\Delta x}\\ &=\lim \limits_{\Delta x\to 0}a\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ &=a\cdot f'(x) \end{aligned} \]

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导数加减

\([f(x)\pm g(x)]'=f'(x)+g'(x)\)

推导（加法）：

\[\begin{aligned} \left[f(x)+g(x)\right]'&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-f(x)-g(x)}{\Delta x}\\ &=\lim \limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &=f'(x)+g'(x) \end{aligned} \]

减法同理。

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导数乘

\[[f(x)\cdot g(x)]'=f(x)g'(x)+g(x)f'(x) \]

推导：

\[\begin{aligned} \left[f(x)+g(x)\right]'&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-g(x)\cdot f(x+\Delta x)+g(x)\cdot f(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)\cdot[g(x+\Delta x)-g(x)]+g(x)\cdot [f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x)\cdot[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x}+\dfrac{g(x)\cdot [f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x}\\ &=f(x)g'(x)+g(x)f'(x) \end{aligned} \]

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导数除

\(\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}\)

推导：

\[\begin{aligned} \left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta x\cdot g(x)\cdot g(x+\Delta x)}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)+f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta x\cdot g(x)\cdot g(x+\Delta x)}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)[g(x)-g(x+\Delta x)]+g(x+\Delta x)[f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x\cdot g(x)\cdot g(x+\Delta x)}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{g(x+\Delta x)[f(x+\Delta x)-f(x)]-f(x+\Delta x)[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x\cdot g(x)\cdot g(x)}\\ &=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \end{aligned} \]

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复合导

\(h(x)=f(g(x)),h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\)

推导：

\[\begin{aligned} h'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &=f'(g(x))\cdot g'(x) \end{aligned} \]

四、对数求导法

设 \(f(x)=y\)，要求 \(f'(x)\)。

先两边取对数：\(\ln f(x)=\ln y\)。

同求导：\(\dfrac{f'(x)}{f(x)}=(\ln y)'\)。

移项：\(f'(x)=f(x)(\ln y)'\)。

例 \(2.4\)：\(f(x)=x^{\ln x}\)。

\(\ln f(x)= (\ln x)^2\)

\(\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{2\ln x}{x}\)

\(f'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}\cdot x^{\ln x}=2\ln x \cdot x^{\ln x-1}\)

五、反函数求导

• 设 \(y=f(x)\)，\(x=\varphi(y)\) 为反函数，则 \(\varphi'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}\)。

  例 \(2.5\)：求 \((\arcsin x)'\)

  \(x=\sin y\)，\(y'=\dfrac{1}{\cos y}\)

  又因为 \(\cos^2 y+\sin^2 y=1\)，所以 \(\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}\)

  所以 \((\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

• 设 \(y=f(x)\)，\(x=\varphi(y)\) 为反函数，则 \(\varphi''(y)=-\dfrac{f''(x)}{f'''(x)}\)。

六、高阶导

• 直接求导：直接求导。
• 公式求导：\(\displaystyle(fg)^{(n)}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}u^{(i)}v^{(n-i)}\)
• 三角函数：\((\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}2),(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}2)\)

七、导数能干啥

• 导数反应的是函数的变化率，既可以反应某个点上函数的变化趋势，也可以反应某个区间内函数的变化趋势。

  如果函数在某个区间内导数恒 \(>0\)，则函数在这个区间内是单调递增的；

  如果函数在某个区间内导数恒 \(<0\)，则函数在这个区间内是单调递减的；

  如果函数在某个区间内导数恒 \(=0\)，则函数在这个区间内是不变的。

• 求最值

• 对其他东西进行推导

八、小练习

相信你已经学会了，那就来做几道简单的练习题吧。

• 全国高考2020一卷导数压轴题（第21题）

  已知函数 \(f(x)=e^x+ax^2-x\)。

  1. 当 \(a=1\) 时，讨论 \(f\) 的单调性。
  2. 当 \(x\ge0\) 时，\(f(x)\ge\frac{x^3}{2}+1\)，求 \(a\) 的取值范围。

  解析：

  1. 把 \(a=1\) 代入：\(f(x)=e^x+x^2-x\)。

     求导：\(f'(x)=e^x+2x-1\)

     不难发现，\(f'\) 单调递增。

     让我们讨论 \(f\) 的单调性，我们就要求出，什么时候 \(f'<0\)，什么时候 \(f'>0\)。

     由于它单调递增，那么我们考虑求出什么时候 \(f'(x)=0\)。

     不难解得 \(x=0\) 时 \(f'(x)=0\)。

     所以：\(x<0\) 时，\(f(x)\) 单调递减；\(x>0\) 时，\(f(x)\) 单调递增。

  2. 考虑把 \(f(x)\) 代了：\(e^x+ax^2-x\ge \frac{x^3}{2}+1\)

     移项：\(ax^2\ge\dfrac{x^3+2+2x-2e^x}2\)

     \(x^2\) 不能除过去，因为 \(x\) 有可能 \(=0\)，但是我们发现 \(x=0\) 时不等式恒成立，所以只要说明一下就可以。

     所以 \(a\ge \dfrac{x^3+2+2x-2e^x}{2x^2}\)。

     所以我们需要求出的其实是 \(g(x)=\dfrac{x^3+2+2x-2e^x}{2x^2}\) 的最大值。

     考虑求导：

     \[\begin{aligned} g'(x)&=\dfrac{(3x^2+0+2-2e^x)2x^2-(x^3+2+2x-2e^x)4x}{4x^4}=\\ &=\dfrac{3x^3+2x-2xe^x-2x^3-4-4x+4e^x}{2x^3}\\ &=\dfrac{x^3-2x-(2x-4)e^x-4}{2x^3} \end{aligned} \]

     接下来一步观察了好久：上面那个东西可以因式分解。

     这下变成了：\(\dfrac{(x-2)(x^2+2x+2-2e^x)}{2x^3}\)

     感觉是对的，因为看到了熟悉的东西：\(x^2+2x+2\)，有一个常见的不等式：\(\frac12x^2+x+1<e^x(x>0)\)

     而这里正好有 \(e^x\)，并且 \(x>0\)！

     所以当 \(x<2\) 时，\(g'(x)>0\)，\(x>2\) 时 \(g'(x)<0\)，所以 \(g(x)\) 在 \(0<x<2\) 时单调递增，\(x>2\) 时单调递减。

     所以最大值为 \(x=2\)，此时 \(g(x)=\dfrac{7-e^2}{4}\)

     所以取值范围是 \(a\ge \dfrac{7-e^2}{4}\)。

     不过还没完，因为常见不等式没证。

     令 \(F(x)=\dfrac{\frac{1}2x^2+x+1}{e^x}\)，求导：

     \[\begin{aligned} F'(x)&=\dfrac{(x+1+0)e^x-e^x(\frac{1}2x^2+x+1)}{e^{2x}}\\ &=-\dfrac{x^2}{2e^x} \end{aligned} \]

     所以 \(x>0\) 时 \(F(x)\) 单调递减。

     由于 \(x=0\) 时 \(F(x)=1\)，所以 \(x>0\) 时 \(F(x)<1\)，又因为 \(x>0\) 时 \(\frac{1}2x^2+x+1>0\) 且 \(e^x>0\)，

     所以 \(x>0\) 时 \(\frac{1}2x^2+x+1<e^x\)。

  看，高考导数不过如此。而且相信经过这一题，对导数理解加深了。

不定积分

一、什么是不定积分

原函数

设 \(f(x),F(x)\) 是作用于 \(I\) 上的函数，若有 \(\forall x\in I ,F'(x)=f(x)\)，则称 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的原函数。

连续函数一定存在原函数

不定积分

设 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的一个原函数，则 \(f(x)\) 的所有原函数 \(F(x)+C\) 称为 \(f(x)\) 的不定积分，记为 \(\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x\)

二、不定积分的性质

\[\begin{aligned} \int [f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x\pm\int g(x)\mathrm{d}x\\ \int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x \end{aligned} \]

例 \(3.2\)：求 \(\displaystyle \int (5x+\frac{10}x)\mathrm{d}x\)

\[\begin{aligned} \int (x+\frac1x)\mathrm{d}x&=\int 5x\mathrm{d}x+\int\frac{10}x\mathrm{d}x\\ &=5\int x\mathrm{d}x+10\int\frac{1}x\mathrm{d}x\\ &=\frac52x^2+10\ln x+C \end{aligned} \]

三、不定积分怎么算

一类换元法

一类换元法

设 \(f(u)\) 的原函数为 \(F(u)\)，则：

\[\int g(x)f(x)\mathrm{d}x=\int g(x)\mathrm{d}F(x) \]

例 \(3.3.1.1\)：求 \(\displaystyle \int\sin x\cos^2 x\mathrm{d}x\)

\[\begin{aligned} \int\sin x\cos^2x\mathrm{d}x&=-\int \cos^2x\mathrm{d}\cos x\\ \end{aligned} \]

令 \(y=\cos x\)

\[\begin{aligned} &=-\int y^2\mathrm{d}y\\ &=-\frac1{3}y^{3}+C\\ &=-\frac13 \cos^3 x+C \end{aligned} \]

---

代三角函数

例 \(3.3.1.2\)：求 \(\displaystyle \int\sin^5x\cos^5x\mathrm{d}x\)

\[\begin{aligned} \int\sin^5x\cos^5xdx&=\int\sin^5x\cos^4x\mathrm{d}\sin x\\ &=\int\sin^5x(1-\sin^2x)^2\mathrm{d}\sin x\\ &=\int(\sin^9x-2\sin^7x+\sin^5x)\mathrm{d}\sin x\\ \end{aligned} \]

令 \(y=\sin x\)

\[\begin{aligned} &=\int y^9-2y^7+y^5\mathrm{d}y\\ &=\frac1{10}y^{10}-\frac14y^8+\frac16y^6+C\\ &=\frac1{10}\sin^{10}x-\frac14\sin^8x+\frac16\sin^6x+C \end{aligned} \]

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解决高次幂

例 \(3.3.1.3\)：求 \(\displaystyle\int \frac{x}{(x-1)^{10}}\mathrm{d}x\)

\[\begin{aligned} \int \frac{x}{(x-1)^{10}}\mathrm{d}x&=\int\frac{x-1}{(x-1)^{10}}\mathrm{d}x+\int\frac1{(x-1)^{10}}\mathrm{d}x\\ &=\int\frac{\mathrm{d}(x-1)}{(x-1)^9}+\int\frac{\mathrm{d}(x-1)}{(x-1)^{10}}\\ &=-\frac{1}{9(x-1)^9}-\frac{1}{8(x-1)^8} \end{aligned} \]

反三角函数

例 \(3.3.1.3\)：求 \(\displaystyle\int \frac{x+\sqrt{\arctan x}}{x^2+1}\mathrm{d}x\)

\[\begin{aligned} \int \frac{x+\sqrt{\arctan x}}{x^2+1}\mathrm{d}x&=\int (x+\sqrt{\arctan x})\mathrm{d}\arctan x\\ &=-\ln\cos\arctan x +\frac23\arctan^{\frac32}x\\ &=-\ln(\frac1{\sqrt{x^2+1}}) +\frac23\arctan^{\frac32}x\\ &=\frac12\ln(x^2+1) +\frac23\arctan^{\frac32}x\\ \end{aligned} \]

\(\cos\arctan x=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}}\) 可以设 \(t=\arctan x,x=\tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}\)，根据 \(\sin^2t+\cos^2t=1\) 得到。

二类换元法

二类换元法

其实就是一类反一反，考虑：

\[\int f(x)\mathrm{d}g(x)=\int f(x)g'(x)\mathrm{d}x \]

例 \(3.3.2.1\)：求 \(\displaystyle \int \frac1{1+\sqrt{x}}\mathrm{d}x\)

令 \(y=\sqrt{x}\)，那么 \(x=y^2\)。

\[\begin{aligned} \int \frac1{1+\sqrt{x}}\mathrm{d}x&=\int \frac{1}{1+y}\mathrm{d}x\\ &=\int\frac{2y}{1+y}\mathrm{d}y\\ &=2\int\left(1-\frac{1}{y+1}\right)\mathrm{d}y\\ &=2(y-\ln(y+1))+C\\ &=2(\sqrt{x}-\ln(\sqrt{x}+1))+C \end{aligned} \]

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根式有理化

例 \(3.3.2.2\)：求 \(\displaystyle \int \frac1{\sqrt[4]x+\sqrt[6]{x}}\mathrm{d}x\)

令 \(y=\sqrt[12]{x}\)，那么 \(x=y^{12}\)。

\[\begin{aligned} \int \frac1{\sqrt[4]x+\sqrt[6]{x}}\mathrm{d}x&=\int \frac{y^{12}}{y^3+y^2}\mathrm{d}x\\ &=\int\frac{y^{10}}{y+1}\mathrm{d}y\\ &=\int\frac{1}{y+1}+\sum_{i=0}^9(-1)^{y+1}y^i \mathrm{d}y\\ &=\ln(y+1)+\sum_{i=1}^{10}(-1)^i\frac{y^i}{i}+C\\ &=\ln(\sqrt[12]{x}+1)+\sum_{i=1}^{10}(-1)^i\frac{\sqrt[12]{x^i}}{i}+C\\ \end{aligned} \]

---

根号下平方

用三角函数代，利用以下式子：

\[\begin{aligned} \sin^2 x+\cos^2 x=1\\ \tan^2 x+1=\sec^2x\\ \cot^2 x+1=\csc^2 x \end{aligned} \]

例 \(3.3.2.3\)：求 \(\displaystyle \int \frac1{\sqrt{a^2+x^2}}\mathrm{d}x(a>0)\)

令 \(x=a\tan y\)，则 \(\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+a^2\tan^2y}=\sqrt{a^2(1+\tan^2y)}=a\sec y\)

\[\begin{aligned} \int\frac1{\sqrt{a^2+x^2}}\mathrm{d}x&=\int\frac{\mathrm{d}(a\tan y)}{a\sec y}\\ &=\int \frac{a\sec^2 y}{a\sec y}\mathrm{d}y\\ &=\int \sec y\mathrm{d}y\\ &=\ln(\tan y+\sec y)+C\\ &=\ln(\frac xa+\frac {\sqrt{a^2+x^2}}a)+C\\ &=\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})-\ln a+C\\ &=\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C\\ \end{aligned} \]

一般情况下：

函数中有	令
\(\sqrt{a^2+x^2}\)	\(x=a\tan y\)
\(\sqrt{a^2-x^2}\)	\(x=a\sin y\)
\(\sqrt{x^2-a^2}\)	\(x=a\sec y\)

---

进行倒代换

用于处理分母次数高的情况

例 \(3.3.2.4\)：求 \(\displaystyle \int \frac1{x(x^5+2)}\mathrm{d}x\)

令 \(x=\dfrac1y\)

\[\begin{aligned} \int\frac1{x(x^5+2)}\mathrm{d}x&=\int \frac{y}{\frac1{y^5}+2}\mathrm{d}\frac1y\\ &=\int \frac{y^6}{2y^5+1}\cdot(-y^{-2})\mathrm{d}y\\ &=-\int \frac{y^4}{2y^5+1}\mathrm{d}y\\ &=-\int \frac15\frac1{2y^5+1}\mathrm{d}y^5\\ &=-\frac{\ln(2y^5+1)}{10}+C\\ &=-\frac{\ln(\frac 2{x^5}+1)}{10}+C\\ &=-\frac1{10}(\ln(x^5+2)-5\ln x)+C\\ &=\frac{\ln x}2-\frac{\ln(x^5+2)}{10}+C\\ \end{aligned} \]

分部积分法

分部积分法

\[\int f(x)\mathrm{d}g(x)=f(x)g(x)-\int g(x)\mathrm{d}f(x)\\ \int f(x)g'(x)\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm{d}x \]

例 \(3.3.3.1\)：求： \(\displaystyle \int x\cos x\mathrm{d}x\)

\[\begin{aligned} \int x\cos x\mathrm{d}x&=\int x\mathrm{d}\sin x\\ &=x\sin x-\int \sin x\mathrm{d}x\\ &=x\sin x+\cos x+C \end{aligned} \]

---

幂函数乘对数函数或反三角函数

保留对数函数或三角函数。

例 \(3.3.3.2(1)\)：求 \(\displaystyle\int x^2\ln x \mathrm{d}x\)

\[\begin{aligned} \int x^2\ln x\mathrm{d}x&=\int \ln x\mathrm{d}\frac{x^3}3\\ &=\frac{x^3\ln x}3-\int \frac {x^3}3\mathrm{d}\ln x\\ &=\frac{x^3\ln x}3-\int \frac {x^2}3\mathrm{d}x\\ &=\frac{x^3\ln x}3- \frac {x^3}9+C\\ \end{aligned} \]

例 \(3.3.3.2(2)\)：求 \(\displaystyle\int x^2\arctan x \mathrm{d}x\)

\[\begin{aligned} \int x^2\arctan x\mathrm{d}x&=\int \arctan x\mathrm{d} \frac{x^3}3\\ &=\frac{x^3\arctan x}3-\int \frac {x^3}3\mathrm{d}\arctan x\\ &=\frac{x^3\arctan x}3-\int \frac {x^3}{3+3x^2}\mathrm{d}x\\ &=\frac{x^3\arctan x}3-\int \frac12\frac {x^2}{3+3x^2}\mathrm{d}x^2\\ &=\frac{x^3\arctan x}3-\frac16\int \frac {x^2}{1+x^2}\mathrm{d}x^2\\ &=\frac{x^3\arctan x}3-\frac16\int\left(1- \frac {1}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x^2\\ &=\frac{x^3\arctan x}3-\frac16\int\left(1- \frac {1}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x^2\\ &=\frac{x^3\arctan x}3-\frac{x^2-\ln(x^2+1)}6+C\\ \end{aligned} \]

指数函数乘幂函数

保留幂函数。

例 \(3.3.3.3\)：求 \(\displaystyle \int x^2 a^x\mathrm{d}x\)

\[\begin{aligned} \int x^2a^xdx&=\int \frac{x^2}{\ln a}\mathrm{d}a^x\\ &=\frac{x^2a^x}{\ln a}-\int a^x\mathrm{d}\frac{x^2}{\ln a}\\ &=\frac{x^2a^x}{\ln a}-2\int \frac{x}{(\ln a)^2}\mathrm{d} a^x\\ &=\frac{x^2a^x}{\ln a}-2\left(\frac{xa^x}{(\ln a)^2}-\int a^x\mathrm{d} \frac{x}{(\ln a)^2}\right)\\ &=\frac{x^2a^x}{\ln a}-2\left(\frac{xa^x}{(\ln a)^2}-\frac{a^x}{(\ln a)^3}\right)+C\\ &=\frac{x^2a^x}{\ln a}-\frac{2xa^x}{(\ln a)^2}+\frac{2a^x}{(\ln a)^3}+C\\ \end{aligned} \]

构造方程

例 \(3.3.3.4\)：求 \(\displaystyle \int e^x\sin x\mathrm{d}x\)

\[\begin{aligned} \int e^x\sin x\mathrm{d}x&=\int \sin x\mathrm{d}e^x\\ &=e^x\sin x-\int e^x\mathrm{d}\sin x\\ &=e^x\sin x-\int e^x\cos x\mathrm{d}x\\ &=e^x\sin x-\int \cos x\mathrm{d}e^x\\ &=e^x\sin x-\left(e^x\cos x-\int e^x\mathrm{d}\cos x\right)\\ &=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+\int e^x\sin x\mathrm{d} x\right)\\ \end{aligned} \]

所以

\[\begin{aligned} 2\int e^x\sin x\mathrm{d}x&=e^x\sin x-e^x\cos x\\ \int e^x\sin x\mathrm{d}x&=\frac{e^x\sin x-e^x\cos x}2+C\\ \end{aligned} \]

拓展分部积分法

\[\int f(x)g^{(n)}(x)\mathrm{d}x=\left(\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^if^{(i)}(x)g^{(n-i-1)}(x)\right)+(-1)^n\int f^{(n)}(x)g(x)\mathrm{d}x \]

本质是多次分部积分法。

例 \(3.3.3.5\)：求 \(\displaystyle\int (x^4-2x^3+7x^2-5x+9)e^x\mathrm{d}x\)

\[\begin{aligned} \int (x^4-2x^3+7x^2-5x+9)e^x\mathrm{d}x=&(x^4-2x^3+7x^2-5x+9)e^x-\\ &(4x^3-6x^2+14x-5)e^x+\\ &(12x^2-12x+14)e^x-\\ &(24x-12)e^x+\\ &24e^x-\int 0\mathrm{d}e^x\\ =&(x^4-6x^3+25x^2-55x+64)e^x+C \end{aligned} \]

求通项公式

例 \(3.3.3.6\)：求 \(\displaystyle I_k=\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)^k}(a>0,k\in\mathbb{N})\) 与 \(I_{k-1}\) 间的通项公式。

当 \(k\ge2\) 时：

\[\begin{aligned} I_{k-1}&=\int (x^2+a^2)^{-(k-1)}\mathrm{d}x\\ &=x(x^2+a^2)^{-k+1}-\int x\mathrm{d}(x^2+a^2)^{-(k-1)}\\ &=x(x^2+a^2)^{-k+1}-\int x\cdot(-2(k-1)x(x^2+a^2)^{-k})\mathrm{d}x\\ &=x(x^2+a^2)^{-k+1}+2(k-1)\int \left(\frac{x^2+a^2}{(x^2+a^2)^{k}}-\frac{a^2}{(x^2+a^2)^{k}}\right)\mathrm{d}x\\ &=x(x^2+a^2)^{-k+1}+2(k-1)\int \left(\frac1{(x^2+a^2)^{k-1}}-\frac{a^2}{(x^2+a^2)^{k}}\right)\mathrm{d}x\\ &=x(x^2+a^2)^{-k+1}+2(k-1)(I_{k-1}-a^2I_k)\\ I_k&=\frac{x(x^2+a^2)^{-k+1}+(2k-3)I_{k-1}}{2a^2(k-1)} \end{aligned} \]

分项积分法

设我们求 \(\displaystyle \int \frac{F(x)}{G(x)}\mathrm{d}x\) （\(F(x)\)、\(G(x)\) 为多项式）可以考虑对 \(F(x)\) 或 \(G(x)\) 进行因式分解。

\[\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{(x+a)(x+b)}=\int\left(\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}\right)\mathrm{d}x\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{(x+a)^2(x+b)}=\int\left(\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{(x+b)^2}\right)\mathrm{d}x\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{(x+a)(x^2+bx+c)}=\int\left(\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}\right)\mathrm{d}x\\ \end{aligned} \]

考虑代入以上式子，然后可以解出 \(A,B,C\)。

例 \(3.3.4\)：求 \(\displaystyle \int \frac{3x+4}{2x^2+7x-15}\mathrm{d}x\)

\[\displaystyle \int \frac{3x+4}{2x^2+7x-15}\mathrm{d}x=\displaystyle \int \frac{3x+4}{(2x-3)(x+5)}\mathrm{d}x=\int \left( \frac A{2x-3}+\frac{B}{x+5}\right) \mathrm{d}x \]

不难发现 \((x+5)A+(2x-3)B=3x+4\)，整理 \((A+2B)x+5A-3B=3x+4\)，对应：

\[\begin{cases} A+2B=3\\ 5A-3B=4 \end{cases} \]

解得：

\[\begin{cases} A=\frac{17}{13}\\ B=\frac{11}{13} \end{cases} \]

所以

\[\begin{aligned} \int \frac{3x+4}{2x^2+7x-15}\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{\frac{17}{13}}{2x-3}+\frac{\frac{11}{13}}{x+5}\right)\mathrm{d}x\\ &=\frac{17}{13}\ln(2x-3)+\frac{11}{13}\ln(x+5)+C \end{aligned} \]

欧拉替代法

一种干掉根式的好方法，只是计算相对复杂。

1. 若 \(a>0\)，令 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t\pm\sqrt{a}x\)。
2. 若 \(c>0\)，令 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=tx\pm\sqrt{c}\)。
3. 若 \(ax^2+bx+c\) 有双实根，令 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-k)\)，\(k\) 为其中一实根。

换元后两边平方就会抵消 \(x^2\)。

例 \(3.3.5(1)\)：求 \(\displaystyle \int\frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)\sqrt{a^2-x^2}}\)

令 \(\sqrt{a^2-x^2}=t(x-a)\)，那么 \(\displaystyle t^2=\frac{a+x}{a-x},x=\frac{a(t^2-1)}{t^2+1}\)

\[\begin{aligned} \int\frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)\sqrt{a^2-x^2}}&=\int\frac{1}{\left(\frac{a^2(t^2-1)^2}{(t^2+1)^2}+a^2\right)t\left(a-\frac{a(t^2-1)}{(t^2+1)}\right)}\mathrm{d}\frac{a(t^2-1)}{t^2+1}\\ &=\frac1{a^2}\int\frac{t^2+1}{t^4+1}\mathrm{d}t\\ &=\frac1{a^2}\int\frac12\left(\frac{1}{t^2-\sqrt2t+1}+\frac{1}{t^2+\sqrt2t+1}\right)\mathrm{d}t\\ &=\frac1{2a^2}\left(\int\frac{\mathrm{d}t}{t^2-\sqrt2t+1}+\int\frac{\mathrm{d}t}{t^2+\sqrt2t+1}\right)\\ &=\frac1{2a^2}\left(\int\frac{\mathrm{d}t}{\left(t-\frac{\sqrt2}2\right)^2+\frac12}+\int\frac{\mathrm{d}t}{\left(t+\frac{\sqrt2}2\right)^2+\frac12}\right)\\ &=\frac1{\sqrt{2}a^2}\left(\int\frac{\mathrm{d}(\sqrt{2}t-1)}{(\sqrt{2}t-1)^2+1}+\int\frac{\mathrm{d}(\sqrt2t+1)}{(\sqrt2t+1)^2+1}\right)\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2a^2}\left(\arctan(\sqrt{2}t-1)+\arctan(\sqrt2t+1)\right)\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2a^2}\arctan(\sqrt{\frac{2a+2x}{a-x}}-1)+\frac{\sqrt{2}}{2a^2}\arctan(\sqrt\frac{2a+2x}{a-x}+1)\\ \end{aligned} \]

例 \(3.3.5(2)\)：求 \(\displaystyle \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2x^2-2x+1}}\)

令 \(\sqrt{2x^2-2x+1}=t+\sqrt2x\)，\(x=\dfrac{1-t^2}{2\sqrt2t+2}\)

\[\begin{aligned} \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2x^2-2x+1}}&=\int\frac{\mathrm{d}\frac{1-t^2}{2\sqrt2t+2}}{t+\frac{1-t^2}{2t+\sqrt2}}\\ &=-\frac1{\sqrt2}\int\frac{1}{\sqrt2t+1}\mathrm{d}t\\ &=-\frac{\ln(\sqrt2t+1)}{\sqrt2}+C\\ &=-\frac{\ln(\sqrt{4x^2-4x+2}-2x+1)}{\sqrt2}+C\\ &=-\frac{\sqrt2\operatorname{arcsinh}(1-2x)}{2}+C \end{aligned} \]

其实可以不用化简为反双曲函数（吗

双曲代换法

类似于二类换元法的根号下平方的三角函数代换。

常用恒等式：

\[\begin{aligned} \sinh^2 x=\frac{\cosh(2x)-1}2\\ \cosh^2 x=\frac{\cosh(2x)+1}2\\ \sinh (2x)=2\sinh x\cosh x\\ \cosh(2x)=\sinh^2x+\cosh^2x\\ \operatorname{arsinh} x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\\ \operatorname{arcosh} x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})\\ \cosh^2x=\sinh^2x+1\\ \tanh^2x+\operatorname{sech}^2 x=1\\ \coth^2x=\operatorname{csch}^2x+1 \end{aligned} \]

例 \(3.3.6\)：求 \(\displaystyle \int \frac1{\sqrt{a^2+x^2}}\mathrm{d}x(a>0)\)

令 \(x=a\sinh y\)，则 \(\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+a^2\sinh^2y}=\sqrt{a^2(1+\sinh^2y)}=a\cosh y\)

\[\begin{aligned} \int\frac1{\sqrt{a^2+x^2}}\mathrm{d}x&=\int\frac{\mathrm{d}(a\sinh y)}{a\cosh y}\\ &=\int 1 \mathrm{d}y\\ &=y+C\\ &=\operatorname{arsinh}\left(\frac xa\right)+C\\ \end{aligned} \]

一般情况下代的函数与三角函数代换类似。

三角函数万能公式

三角函数有理式的积分常常利用到三角函数中的万能公式。

令 \(y=\frac x2\)。

\[\begin{aligned} \sin x=\frac{2\tan y}{1+\tan^2y}\\ \cos x=\frac{1-\tan^2 y}{1+\tan^2 y}\\ \tan x=\frac{2\tan y}{1-\tan^2 y} \end{aligned} \]

但是也会带来计算量大这一问题。

例 \(3.3.7\)：求 \(\displaystyle \int \frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}\mathrm{d}x\)

令 \(t=\tan (\frac x2)\)，则 \(x=2\arctan t\)。

\[\begin{aligned} \int \frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}\mathrm{d}x&=\int\frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}\left(1+\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)}\mathrm{d} (2\arctan t)\\ &=\int\frac{t^2+2t+1}{2t}\mathrm{d}t\\ &=\frac14t^2+t+\frac12\ln(t)+C\\ &=\frac14\tan^2\left(\frac t2\right)+\tan\left(\frac t2\right)+\frac12\ln(\tan\left(\frac t2\right))+C\\ \end{aligned} \]

四、练习

另见不定

积分好题精选（施工中）。

定积分

一、什么是定积分

你一定想过如何求一个奇怪图形的面积。

接下来就引入积分：可以理解为一个范围内，所有数的函数值之和。

下面是一个比较明确的定义。

设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界：

设 \(a=x_0<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=b\)，其中 \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\)。

设 \(\xi_i=\in[x_{i-1,x_i}]\)，则面积为 \(\displaystyle \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x\)。

设 \(\displaystyle\lambda=\max_{i=1}^n(\Delta x_i)\)，若 \(\displaystyle\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x\) 存在，则称 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，记作：

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x \]

二、定积分的性质

	定积分的性质
\(1\)	\(\displaystyle \int_a^a f(x)\mathrm{d}x=0\)
\(2\)	\(\displaystyle\int _a^bf(x)\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\mathrm{d}x\)
\(3\)	若 \(f(x)\) 可积，\(\displaystyle\int _a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_a^cf(x)\mathrm{d}x+\int_c^bf(x)\mathrm{d}x\)
\(4\)	若 \(f(x)\) 可积且 \(f(x)\ge 0\)，\(\displaystyle\int _a^bf(x)\mathrm{d}x\ge 0\)；在此基础上，若存在 \(f(x)\neq 0\)，\(\displaystyle\int _a^bf(x)\mathrm{d}x> 0\)。
\(4.5\)	若 \(f(x),g(x)\) 可积且 \(f(x)\ge g(x)\)，\(\displaystyle\int _a^bf(x)\mathrm{d}x\ge \int _a^b g(x)\mathrm{d}x\)；在此基础上，若存在 \(f(x)\neq g(x)\)，\(\displaystyle\int _a^bf(x)\mathrm{d}x> \int _a^b g(x)\mathrm{d}x\)。
\(5\)	若 \(f(x)\) 可积，则 \(\displaystyle\mid\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\mid\le\int_a^b\mid f(x)\mid\mathrm{d}x\)
\(6\)	若 \(f(x)\) 可积，且 \(L\le f(x)\le R\)，\(\displaystyle L(a-b)\le\int _a^bf(x)\mathrm{d}x\le R(a-b)\)
\(7\)	若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则存在 \(k\in[a,b]\)，使得 \(\displaystyle\int _a^bf(x)\mathrm{d}x=(b-a)f(k)\)
\(8\)	若 \(f(x),g(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \(\displaystyle \left(\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x\right)^2\le \int_a^bf^2(x)\mathrm{d}x\int_a^bg^2(x)\mathrm{d}x\)

7：积分中值定理，8：柯西不等式

三、定积分怎么算

根据定义直接算

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{x\to\infty}\sum_{i=1}^nf\left(a+\frac {i(b-a)}n\right)\frac{b-a}n \]

例：求 \(\displaystyle \int_0^1 x^2\mathrm{d}x\)

\[\begin{aligned} \int_0^1x^2\mathrm{d}x&=\lim_{x\to\infty}\sum_{i=1}^n \left(\frac in\right)^2\frac1n\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\\ &=\frac13 \end{aligned} \]

牛顿-莱布尼茨公式

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，则

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a) \]

利用函数奇偶性

例：求 \(\displaystyle \int_{-\pi}^\pi\left(\sin x\sqrt{\cos(x^2+1)}+|x|\right)\mathrm{d}x\)

可以发现 \(f(-x)=-\sin x\sqrt{\cos\left(x^2+1\right)}=-f(x)\)，

所以 \(\sin x\sqrt{\cos(x^2+1)}\) 是奇函数。

\[\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi\left(\sin x\sqrt{\cos(x^2+1)}+|x|\right)\mathrm{d}x&=\int_{-\pi}^\pi |x|\mathrm{d}x \end{aligned} \]

又因为 \(f(-x)=|x|=x=f(x)\) 所以 \(|x|\) 是偶函数

所以

\[\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi |x|\mathrm{d}x&=2\int_0^\pi x\mathrm{d}x\\ &=2\frac12\pi^2\\ &=\pi^2 \end{aligned} \]

函数可以切成两半。

例：求 \(\displaystyle \int_{-\frac{\pi}2}^{\frac\pi2}\frac{\sin^2x}{1+e^x}\mathrm{d}x\)

\[\begin{aligned} \int_{-\frac{\pi}2}^{\frac\pi2}\frac{\sin^2x}{1+e^x}\mathrm{d}x&=\int_{0}^{\frac\pi2}\left(\frac{\sin^2x}{1+e^x}+\frac{\sin^2x}{1+e^{-x}}\right)\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{\frac\pi2}\left(\frac{\sin^2x}{1+e^x}+\frac{\sin^2xe^x}{e^x+1}\right)\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{\frac\pi2}\frac{\sin^2x(1+e^x)}{1+e^x}\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{\frac\pi2}\sin^2x\mathrm{d}x\\ &=-\frac{\sin(2\frac\pi2)-2\frac\pi2}4\\ &=\frac\pi4 \end{aligned} \]

三角函数特殊性质

设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，则

\[\begin{aligned} \int_0^{\frac\pi2}f(\sin x)\mathrm{d}x=\int_0^{\frac\pi2}f(\cos x)\mathrm{d}x\\ \int_0^{\frac\pi2}\sin^k x\mathrm{d}x=\int_0^{\frac\pi2}\cos^k x\mathrm{d}x=\begin{cases}\prod_{i=2}^{k-1}\frac{i}{i+1}&k\bmod2=1\\ \frac{\pi}{2}\prod_{i=1}^{k-1}\frac{i}{i+1}&k\bmod2=0\end{cases}\\ \int_0^\pi f(\sin x)\mathrm{d}x=2\int_0^{\frac\pi2}f(\sin x)\mathrm{d}x\\ \int_0^\pi xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac\pi2\int_0^{\pi}f(\sin x)\mathrm{d}x \end{aligned} \]

利用二重积分

例：求 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x\)

利用二重积分。

设 \(I=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x\)，所以：

\[\begin{aligned} I^2&= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^\infty e^{-x^2}x\mathrm{d}x\\ &=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \left(-\frac{e^{-\infty^2}}2+\frac12\right)\\ &=\frac12 2\pi\\ &=\pi \end{aligned} \]

所以 \(I=\sqrt{\pi}\)