【学习笔记】网络流的简单入门（更新中）
声明：本博客所有随笔都参照了网络资料或其他博客，仅为博主想加深理解而写，如有疑问欢迎与博主讨论✧｡٩(ˊᗜˋ)و✧*｡
前言
终于学习到了网络流了~
其实网络流算法真正难的在于建模，如何将问题转化为网络流解决。很多看似和网络流不沾边的题目其实都可用次来解。一入网络流深似海，路漫漫其修远兮~
（本篇文章全文主要借鉴这篇blog，写得超级棒哒）
一.概念及性质
网络流基本概念
·网络流：一种类比水流的解决问题方法
·网络：可以看做有源点和汇点的有向图
·弧：有向图的边/水管
·源点：网络中没有入边的点/起点（即可以无限出水的水源），表示为 \(S\)
·汇点：网络中没有出边的点/终点（即可以无限收集水的点），表示为 \(T\)
·容量：一条边可以承受的最大水量，每条边/弧都会有一个容量，表示为函数 \(c(u, v)\)
·流量：一条边当前承受的水量，每条边/弧都会有一个流量，表示为函数 \(f(u, v)\)；流量可为 \(0\)，可为负
残留容量：一条边还可以新增加的水量，即为 容量 - 流量
·容量网络：每条边都给出了容量的网络
·流量网络：每条边都给出了流量的网络
·残量网络：每条边都给出了残留容量的网络，即为 容量网络 - 流量网络
网络流的三大性质
·容量限制：\(f(u,v)≤c(u,v)\) 一条边的流不能超过它的容量
·流守恒：除非 \(u=s\) 或 \(u=t\) ，否则 \(\sum_{(w∈V)}f(u,w)=0\) 一结点的净流是零，除了“制造”流的源点和“消耗”流的汇点。
（意思就是，除了源点和汇点外，一条边流进来了多少水就会流出去多少水，保证守恒）
·斜对称：\(f(u, v) = -f(v, u)\)
（这个其实也不太好理解...暂时理解为矢量？之后会有很多运用）
二.最大流
概念
·网络的流量：流量网络的汇点收集到的流量值
·最大流：网络的流量的最大值
FF方法
概念
增广路：在残量网络中的一条从 \(S\) 到 \(T\) 的合法路径，即所有弧的残量为正
**
增广路定理：网络达到最大流当且仅当残量网络中没有增广路
\(FF(Ford−Fulkerson)\) 方法又称增广路方法：不断地在残量网络中找到一条从 \(S\) 到 \(T\) 的增广路，向 \(T\) 发送流量，修改此条增广路上弧的残量，直到找不到增广路为止
EK算法
\(EK\)：基于 \(FF\) 方法的一种算法
大致流程：
\(1.\)用 \(bfs\) 找一条增广路，逆向记录下这条路上的弧
\(2.\)\(ans\) 加上这条增广路上的流量（木桶定理）
\(3.\)更改此条路径上弧的残量
（细节请看代码）
详细介绍
但是有个问题，就是如何保证我每次随机选择的增广路都是最优的？或者说，是可以达到最大流的，而不会影响后面继续找增广路？
比如下面这张图，第一次找增广路时我们找到了蓝色的这条（\(1 -> 2 -> 3 -> 4\)）
那么下一次我们就无法找出增广路了；可是这就是最大流了吗？
显然不是，如果选择 \(1->2->4\) 和 \(1->3->4\) 最后答案就为 \(2\)，比刚才要大
所以我们得给选过的增广路一个反悔的机会
在最初建图时，我们把每条边都建一条流量为\(0\)的反边
选择一条增广路时，除了把这条增广路上弧的残量修改之外，我们还把每条弧的反边加上此次的流量
例如刚才那张图，我们选择了第一条增广路后，它应该变成这样
接下来我们模拟一下第二次找增广路
首先从 \(1\) 找到了 \(3\)，这条弧上残量为正，是合法的
接下来从 \(3\) 开始找，发现可以流向 \(2\)，从 \(2\) 又可以流向 \(4\)，即找到了一条增广路，\(ans\) 变为 \(2\)
为什么可以这样做？
其实很简单。当我们找到 \(3\) 的时候，和原来那条增广路碰面了，也就是说，从 \(3\) 这里往后走一定会有一条合法的流到达汇点（就是原来那条增广路），于是我们把 \(3\) 以及之后的那条合法路径全部割让给 \(1->3\) 这里， 让 \(2\) 不往 \(3\) 这里走，而是转头去找 \(4\)。
感觉说的有点乱...
引用一段这位大佬写的话
将之前流出去的流量的一部分（或者全部）反悔掉了个头，跟随着新的路径流向了其它地方，而新的路径上在到达这条边之前所积蓄的流量 以及 之前掉头掉剩下的流量 则顺着之前的路径流了下去。
时间复杂度
\(O(nm^2)\)
Code
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#define F(i, x, y) for(register int i = x; i <= y; ++ i)
using namespace std;
int read();
const int N = 1e4 + 5;
const int M = 1e5 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m, s, t, ans;
int head[N], cnt = 1, ver[M << 1], edge[M << 1], next[M << 1];
int val[N], vis[N], a[N];
queue<int> q;
void add(int x, int y, int z){ver[++ cnt] = y, edge[cnt] = z, next[cnt] = head[x], head[x] = cnt;}
bool bfs()
{
while(q.size()) q.pop();
memset(vis, 0, sizeof(vis));
q.push(s), vis[s] = 1, val[s] = inf;
while(q.size())
{
int x = q.front(); q.pop();
for(int i= head[x]; i; i = next[i])
if(edge[i] && ! vis[ver[i]])
{
val[ver[i]] = min(edge[i], val[x]);
q.push(ver[i]), vis[ver[i]] = 1, a[ver[i]] = i;
if(ver[i] == t) return true;
}
}
return false;
}
void EK()
{
while(bfs())
{
int x = t; ans += val[t];
while(x != s)
edge[a[x]] -= val[t], edge[a[x] ^ 1] += val[t], x = ver[a[x] ^ 1];
}
}
int main()
{
n = read(), m = read(), s = read(), t = read();
for(int i = 1, x, y, z; i <= m; ++ i)
x = read(), y = read(), z = read(), add(x, y, z), add(y, x, 0);
EK();
printf("%d", ans);
return 0;
}
int read()
{
int x = 0, f = 1;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar();
return x * f;
}
