BZOJ4671: 异或图

$1 \leq s \leq 60$个$2 \leq n \leq 10$的图，定义图的异或是：如果一条边在两个图中出现次数和为1，那么异或后的图中存在这条边，否则不存在。问有多少图的集合满足异或后的图是连通图。

暂时自己推不动的题系列QAQ

容斥一发，枚举点集划分，然后强行让在不同点集的点不连边而同一点集内的点随意。如此一来，假如有一种真实的方案，它把图真真切切的变成了$m$个连通块，那么这种方案会被统计$\sum_{i=1}^m\begin{Bmatrix} m \\  i \end{Bmatrix}$次，就是，每次把分完的点集合再拿去分集合，然后会分到若干大集合，然后因为大集合里的点是乱连的，所以会算到这种情况。需要系数$f(i)$，满足$\sum_{i=1}^m\begin{Bmatrix} m \\  i \end{Bmatrix} f(i)=[m=1]$。

用斯特林数递推求这个系数当然没问题，但打表后可得$f(i)=(-1)^{i-1}(i-1)!$，简要证明：

$\sum_{i=1}^{m}\begin{Bmatrix} m\\ i\end{Bmatrix}(-1)^{i-1}(i-1)!$
$\\ =\sum_{i=1}^{m}(-1)^{i-1}(i-1)!(\begin{Bmatrix} m-1\\ i-1\end{Bmatrix}+i\begin{Bmatrix} m-1\\ i\end{Bmatrix})$
$\\ =\sum_{i=1}^{m}(-1)^{i-1}(i-1)!\begin{Bmatrix} m-1\\ i-1\end{Bmatrix}+\sum_{i=1}^{m}(-1)^{i-1}i!\begin{Bmatrix} m-1\\ i\end{Bmatrix}$
$\\ =\sum_{i=0}^{m-1}(-1)^ii!\begin{Bmatrix} m-1\\ i\end{Bmatrix}+\sum_{i=1}^{m-1}(-1)^{i-1}i!\begin{Bmatrix} m-1\\ i\end{Bmatrix}$
$\\ =[m=1]$

好的0.0

然后一个点集划分怎么求满足的方案呢，把要的那几位提出来丢线性基里，异或出0的方案数就是$2^{S-cnt}$，$cnt$是线性基的大小。

//#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<math.h>
//#include<time.h>
//#include<complex>
//#include<set>
//#include<queue>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

#define LL long long
int qread()
{
    char c; int s=0; while ((c=getchar())<'0' || c>'9');
    do s=s*10+c-'0'; while ((c=getchar())>='0' && c<='9'); return s;
}

//Pay attention to '-' , LL and double of qread!!!!

int n,S;
LL ans,f[22],a[66],b[66],two[66]; int list[22][22],len[22],bel[22];

struct JI
{
    LL a[66]; int n,m;
    void clear(int mm) {m=mm; n=0; memset(a,0,sizeof(a));}
    void insert(LL v)
    {
        for (int i=m;~i;i--) if ((v>>i)&1)
        {
            if (!a[i]) {a[i]=v; n++; break;}
            v^=a[i];
        }
    }
}ji;

void calc(int tot)
{
    memset(b,0,sizeof(b));
    int lb=0;
    for (int i=1,pp=0;i<=n;i++)
        for (int j=i+1;j<=n;j++,pp++)
            if (bel[i]!=bel[j])
            {
                for (int k=1;k<=S;k++) b[k]|=((a[k]>>pp)&1)<<lb;
                lb++;
            }
    ji.clear(lb-1);
    for (int i=1;i<=S;i++) ji.insert(b[i]);
    ans+=f[tot]*two[S-ji.n];
}
    
void dfs(int cur,int tot)
{
    if (cur>n) {calc(tot); return;}
    for (int i=1;i<=tot;i++)
    {
        bel[cur]=i;
        list[i][++len[i]]=cur;
        dfs(cur+1,tot);
        len[i]--;
    }
    bel[cur]=tot+1;
    list[tot+1][++len[tot+1]]=cur;
    dfs(cur+1,tot+1);
    len[tot+1]--;
}

char s[55];
int main()
{
    S=qread();
    for (int i=1;i<=S;i++)
    {
        scanf("%s",s); int m=strlen(s);
        n=(int)(sqrt(1+8*m)+1.1)>>1;
        for (int j=0;j<m;j++) a[i]|=(LL)(s[j]=='1')<<j;
    }
    
    {
        LL fac=1; int fu=1;
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            f[i]=fac*fu;
            fu=-fu; fac*=i;
        }
        two[0]=1; for (int i=1;i<=S;i++) two[i]=two[i-1]<<1;
    }
    
    ans=0; dfs(1,0);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}