随笔分类 - 数学--数论
摘要：杜教筛模板 给$\mu$找个函数1，因为$\mu * 1=I$，其中I是元函数，I(x)=[x==1]。 那就$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu(d)=\sum_{k=1}^{n}1\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rf
阅读全文
摘要：求$\sum_{i=1}^{n}\varphi (i)$，$n\leqslant 1e10$。 这里先把杜教筛的一般套路贴一下： 要求$S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$，而现在有一数论函数$g(i)$，$g(i)$的前缀和很无脑，且$f$和$g$的狄利克雷卷积的前缀和很无脑（太巧了吧
阅读全文
摘要：求：$\sum_{m=1}^{n}\sum_{p=1}^{M}\sum_{q=p+1}^{M}[(p,q)=1][p+q\geqslant M]\frac{1}{pq}$保留四位小数，$n\leqslant 1e7$。 $\sum_{M=1}^{n}\sum_{p=1}^{M}\sum_{q=p+1
阅读全文
摘要：求：$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}(d,\frac{i}{d})$. 重要套路：$(a,b)=d,ab\leqslant n$ 求这个(a,b)的个数，又要保证后面的限制，可以这样缩：符合要求的$(a,b)$一定有$x,y$使得$(x,y)=1,xd*yd<=n$，因此$xy<=
阅读全文
摘要：n<=30000个同余方程：$x_i\equiv k_i*x_{p_i}+b_i (mod 10007)$。m<=100000个操作：一、修改某个不等式的$k_i,p_i,b_i$，二、查询某个变量的值。无解-1，无穷解-2. 极其好玩的一道题。不像某些“绝世好题”实际是水题。。 首先按依赖关系可以
阅读全文
摘要：n<=2e6的数组，m<=2e6个询问，对1<=i<=m的每个i问：只用<=i的数字填进数组，有多少种方案使数组的总gcd=1.强制把每个询问的答案求出来。 比如说现在有个确定的i=t，然后看看答案怎么算先。先把所有情况加起来，然后除去gcd=2，3，4，5，……的，那直接统计有多少gcd=2，3，
阅读全文
摘要：n<=10000000的图，满足：如果(i,j)>1就连一条边权1的无相变，问所有d(u,v) (u<=v)--u到v的最短路之和。 首先1和>n/2的质数都是孤立的点。然后两个数x,y如果(x,y)>1最短路就1，如果(x,y)=1且x,y都不是1或>n/2的质数一定能走，具体这么走：$P_x$-
阅读全文
摘要：一个数表上第i行第j列表示能同时整除i和j的自然数，Q<=2e4个询问，每次问表上1<=x<=n，1<=y<=m区域内所有<=a的数之和。n,m<=1e5，a<=1e9。对2^31取模。 这个a很讨厌就先不理他。首先i行j列的那个数其实是$a_{ij}=\sum_{x|gcd(i,j)} x$，令$
阅读全文
摘要：t<=10000组询问：有多少x,y，满足$x\epsilon [1,n],y\epsilon [1,m],(x,y)为质数$。n,m<=1e7。 首先式子列出来，f(i)--1<=x<=n，1<=y<=m中有多少(x,y)=i，g(i)--1<=x<=n，1<=y<=m中有多少i|(x,y)，$g
阅读全文
摘要：n<=10^14，0~n-1中有一些数是密码，且满足：a是密码，b是密码，那么(a+b)%n也是密码（a，b可相等），现小明试了m<=250000个数，前面都错，最后一个对，问n个数中最多有多少密码。 好端端的一道数论题变卡常题。。 根据那个规则，把最后猜到那个数字t带进去，那么t，2t，3t……都
阅读全文
摘要：n<=50000个询问，每次问a<=x<=b，c<=y<=d中有多少gcd(x,y)=K的(x,y)。a,b,c,d,K<=50000。 这大概是入门题辣。。这里记一波笔记 当难以计算f(i)而易于计算他的反演式g(i)时，可以通过计算g(i)->反演得到f(i)。 先放莫比乌斯函数的性质：$\su
阅读全文
摘要：n<=200000个<=200000的数问所有的f(i,j)的和，表示去掉区间i到j后的剩余的数字中任选两个数的最大gcd。 数论日常不会。。 先试着计算一个数组：Hi表示f(l,r)<=i的(l,r)的数量。这样答案就是i*(H_i - H_i-1)的和。要求删掉某个区间后剩余的区间的最大gcd，
阅读全文
摘要：n<=500000个2<=Ai<=1e7的数，求这样选数的方案数：先从其中挑出一个gcd不为1的集合，然后再选一个不属于该集合，且与该集合内任意一个数互质的数。 好的统计题。 其实就是要对每个数求和他互质的，gcd不为1的集合数，容斥一下，求出所有gcd不为1的集合数A然后减去所有他的质因子对这个A
阅读全文
摘要：定义H数为4n+1,n>=0的数，H素数为H数中只能拆成1*x，x为H数的数，求1-n<=1000000中H素数的个数。 筛法。 1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 #include<string.h> 4 #include<algorithm> 5
阅读全文
摘要：题目大意：给出n,G,求G^P%M，其中M=999911659，P=∑C(n,i) (i=1~n,n%i=0)。 题解：此神题也。注意到M是个素数，则G^P%M=G^(P%phi(M)+phi(M))%M=G^(P%(M-1)+M-1)%M，所以求P%(M-1)即可。错误！前式应满足条件P>=phi
阅读全文
摘要：题目大意：n个数中，对其中每一个数，在其它（n-1）个数中有几个是他的因子。 题解：考虑到数Ai的范围不算太大，可以用一个桶统计1~MAX（Ai）每个数出现个数，然后把1~MAX的在MAX以内的倍数筛一遍即可。100000个数在1000000的桶里非常稀疏，忽略出现次数为0的数对时间效率十分重要。
阅读全文
浙公网安备 33010602011771号