求解时间复杂度递归式

（一）主定理

对于 \(T(N)=a*T(N/b)+\Theta(N^d)\)
且\(T(1)\)为常数，有

1. \(\log_b a>d \Rightarrow\) 复杂度为 \(\Theta(N^{\log_b a})\)

2. \(\log_b a=d \Rightarrow\) 复杂度为 \(\Theta(N^d* \log N)\)

3. \(\log_b a<d \Rightarrow\) 复杂度为 \(\Theta(N^d)\)

加强版

以下 \(O(N)\) 为复杂度上界， \(\Theta(N)\) 为复杂度确界， \(\Omega(N)\) 为复杂度下界。

对于 \(T(N)=a*T(N/b)+f(N)\)
且\(T(1)\)为常数，有

1. \(f(N)=O(N^d),\log_b a>d \Rightarrow\) 复杂度为 \(\Theta(N^{\log_b a})\)

2. \(f(N)=\Theta (N^d \log^k n),k\geq 0,\log_b a=d \Rightarrow\) 复杂度为 \(\Theta(N^d \log^{k+1} N)\)

3. \(f(N)=\Omega (N^d),\log_b a<d \Rightarrow\) 复杂度为 \(\Theta(N^d)\)

例题

（以下\(T(1)\)都为常数）

1. 设某算法时间复杂度可表示为\(T(n)=9T(n/3)+n^2\)，求该算法时间复杂度。

解：

由题意得：\(a=9,b=3,d=2\)
所以\(\log_ba=\log_39=2=d\)
所以是第二种情况，复杂度为\(\Theta(n^2\log n)\)

2. 设某算法时间复杂度可表示为\(T(n)=T(2n/3)+n\)，求该算法时间复杂度。

解：

由题意得：\(a=1,b=\frac{3}{2},d=1\)
所以\(\log_ba=\log_{\frac{3}{2}}1=0<d=1\)
所以是第三种情况，复杂度为\(\Theta(n)\)

3. 设某算法时间复杂度可表示为\(T(n)=3T(\sqrt n)+\log n\)，求该算法时间复杂度。

解：

\(T(n)=3T(n^{\frac{1}{2}})+\log n\)

\(\Leftrightarrow T(2^n)=3T(2^{\frac{n}{2}})+n\)

设\(t(n)=T(2^n)\)，则\(t(n)=3t(n/2)+n\)

由题意得：\(a=3,b=2,d=1\)
所以\(\log_ba=\log 3≈1.58>d=1\)
所以是第三种情况，\(t(n)\)的复杂度为\(O(n^{\log 3})\)
所以\(T(n)\)的复杂度为\(\Theta(\log^{\log 3}n)\)。

4. 设某算法时间复杂度可表示为\(T(n)=2T(n/5)+\log n\)，求该算法时间复杂度。

解：

易得\(\log n\)的一个上界是\(\Theta(n^k)(0<k<\log_5 2)\)，那么是第一种情况，\(T(n)\)的复杂度为\(\Theta(n^{\log_5 2})\)。

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（二）递归树

考虑递归式$$T(n)=2T(n/2)+n^2$$
可将其化为$$T(n)=T(n/2)+T(n/2)+n^2$$
于是可以画一棵递归树，对于一个节点，节点的值为非函数项，再将式中每一个函数项向下迭代，式中有几个函数项，递归树就是几叉树，且有\(\log n\)层，把每一行所有节点的和写在右边，如下图所示。

然后，右边所有数之和（一个含\(n\)的表达式）即为该式的复杂度。

如图，该图中右边所有数之和为$$(1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2+(\frac{1}{2})}3+...)* n²⁼²ⁿ2$$

所以，\(T(n)=T(n/2)+T(n/2)+n^2\)的时间复杂度为\(\Theta(n^2)\)

例题

1. 计算递归式\(T(n)=T(n/3)+T(2n/3)+n\)的复杂度。

解：

递归树如下图所示

右边所有数之和为$$(\log_{\frac{3}{2}}n+1)*n$$

所以，\(T(n)\)的时间复杂度为\(\Theta(n\log n)\)