概率期望*
两个问题
1
有两个球，现在有人告诉你第一个球是黑色的，问两个球都是黑色的概率。
解
| 第一个球 | 第二个球 | 概率 |
|---|---|---|
| 黑 | 黑 | \(\frac{1}{4}\) |
| 黑 | 白 | \(\frac{1}{4}\) |
| 白 | 黑 | \(\frac{1}{4}\) |
| 白 | 白 | \(0\) |
\(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}\)
2
有两个球，现在有人告诉你其中一个球是黑色的，问两个球都是黑色的概率。
解
\(\frac{1}{2}\)
| 第一个球 | 第二个球 | 概率 |
|---|---|---|
| 黑 | 黑 | \(\frac{1}{4}\) |
| 黑 | 白 | \(\frac{1}{4}\) |
| 白 | 黑 | \(0\) |
| 白 | 白 | \(0\) |
\(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{4}}=\frac{1}{2}\)
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练习
A. LightOJ 1038
给出一个数D，每次可以选择数D的一个因子，用数D除上这个因子得到一个新的数D，为数D变为1的操作次数的期望为多少。\((D \le 10^5)\)
解
典型的逆推期望dp。
注意有环，需要稍微列一列方程来消去。
XJOI上时限为200ms。请勿使用 \(O(n\sqrt{n})\) 的算法，使用复杂度或常数更小的算法。
B. POJ 2096
有 \(s\) 个系统， \(n\) 种bug，每种bug出现概率相同都为 \(\frac{1}{n}\) ,每种bug等概率出现在每个系统中都为 \(\frac{1}{s}\) ，每个系统有无限个bug，每天找到一个bug，在保证每个系统都至少有一个bug的前提下，求找全 \(n\) 种bug的期望天数。
解
典型的逆推期望dp。
注意有环，需要稍微列一列方程来消去。
