理论物理暑期学校报告
rush 了一下午，终于把暑校报告作业写完…… 只可惜这个暑期学校课堂之高深复杂，实在不是我现在的水平能够理解的，我只能写点我懂的一点皮毛。
摘要：
22 年夏，北京大学举办了理论物理暑期学校，意在为同学们介绍近现代物理学发展历史上的灵感和思考、理论物理的思想、今日的物理学前沿、各领域之间错综复杂的联系……本文将主要谈谈我在这次暑期学校课堂上得到的收获和感想，以及对量子场论及“粒子”这一概念的认识。
量子场论
量子场论诞生的历史背景
1905 年，爱因斯坦提出狭义相对论，标志着人们终于认识高速的物体运动及其在时空变换夏的规律，为了将引力容纳到相对论的理论框架中，1915 年爱因斯坦提出广义相对论，将引力解释为时空的弯曲；1925 年，量子力学的诞生丰富了人们对微观世界的认识，并深刻地影响了原子物理、核物理，乃至热力学和统计力学、固体物理的发展。事实上，相对论量子力学几乎是在同一时间得到了发展。薛定谔在提出薛定谔方程之前，曾试图用相对论性的 Klein-Gordon 方程来刻画电子的行为，但以失败告终。Klein-Gordon 场只能描述自旋为 \(0\) 的玻色子，不能给出电子的概率波诠释。直到 1928 年 Dirac 方程的提出，成功地描写了自旋 \(1/2\) 的费米子。Dirac 方程无疑是成功的，它正确地给出了电子的正常磁矩（\(g\) 因子），并且成功地预言了反粒子的存在，于 1932 年得到实验的正式。三十年代初人们基本解决了辐射场的量子化问题，因此关于电子、正电子、光子的量子理论—量子电动力学（QED）理论的雏形已经初步建立。实验上，加速器技术的发展使得越来越多形形色色的粒子进入人们的视野，人们通过散射实验来研究粒子的诸多方面的性质。
什么是粒子？
从未有过这样一个概念，带给物理学家们如此多的遐想和思考。从不同的角度看待它将会有完全不同的理解和物理图像。
在非相对论量子力学的视野中，人们用薛定谔方程来刻画粒子的波函数随时间的演化，并且用波函数概率诠释和观测导致坍缩等一系列公理来刻画粒子。非相对论量子力学中，粒子的空间位置和动量是刻画它的力学自由度，它们分别作为正则坐标和正则动量，有对易关系，因此位置和动量本征值不能同时确定，这体现了粒子的“波粒二象性”。在量子场论中，人们假想了一个具有无穷自由度的场系统，量子场是时空坐标的函数，而时空的每一点都有一个正则坐标和正则动量，可以升格为 Hilbert 空间上的算符，并且场算符满足相应的方程。因此能够对场算符进行线性组合得到产生湮灭算符，从而构造描述多粒子的 Fock 空间。产生湮灭算符的对易关系或反对易关系刻画了粒子的交换对称性或反对称性，体现了玻色子和费米子的性质。因此量子场论也是一个研究多体系统中粒子统计性质的理论。
粒子是场的量子激发
为什么能够有形形色色的粒子？为什么粒子能够相互“转化”？例如正负电子对能够湮灭产生两个光子这一类实验现象，我们不再能够通过“分子由原子组成、原子由原子核和电子组成”这样的观点来看待这些基本粒子，它们也许不再有内部的结构，但至少我们可以从量子场的激发来理解这件事。不同的场具有不同的性质，有不同的拉式量，满足不同的方程，因而量子化以后将得到不同性质的场的激发。当不同的场之间有耦合相互作用，例如 Dirac 旋量场和电磁场耦合，能量就能从一个场“传递”到另一个场，粒子就能够实现相互“转化”。
事实上“场的量子激发”这种思想贯穿在固体物理、凝聚态物理等学科中。 例如晶体中原子的集体运动激发出声波，对声波量子化对应的“准粒子”被称为声子；铁磁体中能激发出自旋波；超流体能够激发出旋子…… 这些场激发出的准粒子与量子场论中场激发的粒子有异曲同工之妙，具有相似的本质。由于相互作用势场的影响，当光子、电子在晶体中运动时，将会有与真空中不同的色散关系，并且可能被晶格散射，产生声子或与声子发生碰撞。这些观点与量子场论对散射问题的刻画不谋而合，这不禁让我们对量子场的本质和微观结构遐想。
在 \(\lambda\phi^4\) 理论、描述电磁相互作用的 QED 理论、Yukawa 理论等理论描述的相互作用场中，相互作用使得场论所描述的粒子（波包）错综复杂，不再同自由场论所描述的那么清晰简单，但这些粒子确实表现出某些类似于自由场论所描述的自由粒子的特征，而根据 Källén-Lehmann 谱分解，这些单粒子态的全部物理性质，全部体现在两点编时格林函数中。所以粒子实际上是无法与相互作用割裂开来的，它不是一个孤零零的客体，而是作为场的激发体现了场的性质。
粒子是庞加莱群的不可约表示
在 Dirac 方程诞生以前，建立相对论量子力学的一个重点和难点就是将洛伦兹协变性在方程中体现出来，从而协调相对论和量子力学这两个理论。在非相对论量子力学中，对称性实际上已经扮演着重要的角色。Galilean 变换的生成元（产生子）之间的对易关系反映了刻画参考系变化的李群；而粒子作为 Hilbert 空间的态矢量，在李群的作用下态矢量有相应的变换规则。这意味着这个描述参考系变换对称性的李群为粒子提供了一个投影表示\footnote{之所以不说是普通的群表示，是因为 Hilbert 是复线性空间，其中的态矢量在差一个相位因子的情况下具有完全相同的观测效应。}，对任意的变换 \(T_2,T_1\)，设 \(U(T)\) 为 Hilbert 空间的幺正变换，那么
相位因子 \(\phi(T_2,T_1)\) 将导致李代数的对应关系中出现中心荷。虽然可以通过重定态矢相位的方法来尽可能消去中心荷，但人们发现，对于 Galilean 群而言，有一个常标量 \(M\) 在数学上是不可能被消去的：\([G_i,P_j]=i\delta_{ij}MI\)，其中 \(G_i\) 为沿坐标轴 \(i\) 方向上的速度变换生成元，\(P_j\) 为沿坐标轴 \(j\) 方向的平移生成元，这个常标量 \(M\) 可以被解释为质量。对称性和守恒量事实上有着密切联系。一个粒子的动力学在 Galilean 群下的变换下不变，这可以用于确定粒子的动力学变量：例如坐标、动量、哈密顿量、角动量等；粒子的全部运动学和动力学性质可以从中体现出来。除了以上所说的连续变换对称性，还有离散变换对称性，例如时间反演变换、空间反演变换、交换对称性。幸运地是，量子场论中产生湮灭算符对易关系的建立使得交换对称性变得十分自然而简单。
相对论量子力学描述的粒子是庞加莱群的表示，除了 \(C,P,T\) 变换的对称性，如果只考察庞加莱群的一个单连通分支，则连续的时空对称性变换可以由 \(10\) 时空变换生成元及其对易关系描述。经过对态矢量相位的重新定义，可以消去李代数中所有的中心荷，从这一角度看，庞加莱群比 Galilean 群要简单，粒子在时空对称性变换下形成了庞加莱群的表示。如果一个体系在庞加莱群的矩阵表示可以对角化，那么每一个分块矩阵分量将对应这个体系的不同“组分”，它们分别组成一个更小的表示。因此粒子被定义为那些不可约的表示。
这一种对粒子的定义方式很大程度上体现了物理世界在数学结构上的规律，基于几个人们普遍认可的时空对称性的基本规律建起物理大厦，并充分地利用其代数性质来推导物理对象的各个可观测量应当服从的数学规律。在研究不同自旋的、不同类型的粒子的量子场论时，对称性提供了极大的帮助。通过研究洛伦兹群的不可约表示，并对其在同构的意义下分类，可以得到描述不同类型的不同自旋的粒子的场。洛伦兹群的李代数 \(\mathrm so(3,1)\) 可以视作是两个 \(\mathrm su(2)\) 的直积，因此 \(SO(3,1)\) 的不可约表示可以分解为 \(SU(2)\) 的两个不可约表示的直积。用 \(0\) 来标记 \(SU(2)\) 的平凡表示，\(1/2\) 标记对应于自旋 \(1/2\) 的不可约表示。那么，\((0,0)\) 是洛伦兹群的平凡表示，反映了标量场的变化规律； \((1/2,0)\) 和 \((0,1/2)\) 分别是左手 Weyl 旋量表示和右手 Weyl 旋量表示，它们的直和 \((1/2,0)\oplus (0,1/2)\) 构成一个新的表示，实际上就是 Dirac 旋量。\((1/2,0)\otimes(0,1/2)=(1/2,1/2)\) 则构成了矢量表示。从洛伦兹群的不可约表示出发，不仅可以构造旋量和矢量，还可以构造一些更复杂的洛伦兹四矢量和二阶张量。这些都反应了洛伦兹群表示蕴含的丰富的数学信息，它使人们能够从代数的角度观察到场的丰富性质。
理论物理学的突破与未来
今日之物理，汇聚了几个世纪以来科学家们的智慧和灵感，各领域交错融合，各学科交叉互通，人们对自然界的认识已经成为一个十分庞大而复杂的体系，在最前沿的那些未知充满着确定性和不确定性，携带着突破的可能性。在不同尺度上，不同亮度的物理情境下，人们采用多种不同的研究范式，还原论和演生论相辅相成，共同铸就人们对物理世界的多个角度的认识。物理学的一系列革命性的突破和伟大的成果究竟是如何产生的？作为新时代的想要成为理论物理学家的年轻人，我们又应做如何的准备和展望？
这是一个很主观的问题，所以我只谈谈我个人对理论物理的思考和感想，这些感想很大程度上受到了这几天暑期学校的影响。理论物理学家对理论大概对理论的物理直觉和数学结构方面有较大的关注，但在沉迷于理论的同时，应当尽可能地关注不同领域之间的联系，因为不同学科的研究从来都不是割裂的，而是相互联系的，不止在研究对象和内容上，在理论层次和物理思想上更是如此。电场磁场的概念源自对连续介质的想象；统计物理中重整化方法联系于量子场论的重整化；Yang mills 理论体现数学和物理的完美结合；超导超流与希格斯玻色子的起源都蕴含着对称性自发破缺的思想；SYK model 展现的共形对称性架起了黑洞和凝聚态之间的桥梁…… 对于一个理论物理学家，对各个领域的一定程度的了解能够对其理论物理的研究有不可估量的帮助。
此外，我们应当关注那些最困难的最艰巨的处于时代前沿的重要问题，勇于去参与到其中。当今物理的研究课题是庞大而艰巨的，物理学研究分工愈发的细化，而这个庞大组织中的每一个个体，都将是为物理学大厦添砖加瓦的不可忽视的力量。
参考文献
[1] 刘川,《量子场论》, Version 1.641, 2016.
[2] S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press, Cambridge, 1995;
Beijing World Publishing, Beijing, 2004.
[3] M.E. Peskin and D.V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press,
1995; Beijing World Publishing, Beijing, 2006.
