代数方法在图论中的精彩应用
Preface
一直想对GTAC讨论班的一些精彩内容做一次整理，却一直挖不出时间来。昨晚我们在讨论班教室吃披萨，喝果汁，听了一些代数方法在图论中的应用，度过了愉快的平安夜。新的一年（和ddl）快要来了，是时候做个整理了。
由于 eden 上课不做笔记，忘记了一些定理的名字以及来源，再由于时间关系 eden 不能整理得特别详细。所以凑合着看吧 ：）
Graham-Pollack theorem
Theorem 1. (Graham-Pollack theorem) 若完全图 \(K_n\) 可以表示为 \(m\) 个互不相交的完全二分图的并，则 \(m\ge n-1\)。
设图 \(K_n\) 的邻接矩阵为 \(A\)，那么 \(A=J-I\)（约定 \(J\) 为全 \(1\) 矩阵，\(I\) 为单位矩阵）。
如果 \(K_n\) 的一个子图 \(G\) 是完全二分图，一边的点集为 \(V_1\)，另一边的点集为 \(V_2\)。那么该子图的邻接矩阵 \(B\) 满足：\(B_{x,y}=B_{y,x}=1,\forall x\in V_1,y\in V_2\)。所以 \(B\) 可以拆成一个秩一矩阵与它的转置之和：\(B=C^T+C\ (C_{x,y}=1,\forall x\in V_1,y\in V_2)\)。
\(K_n\) 可以拆成 \(m\) 个互不相交的完全二分图的并，所以 \(A\) 可以表示为 \((C_1+\cdots+C_m)^T+(C_1+\cdots+C_m)\)，其中 \(C_1,\cdots,C_m\) 都是秩一矩阵。可以推出：
假设 \(m<=n-2\)，那么 \(rank(D)\le rank(J)+rank(C_1)\cdots+rank(C_m)=n-1\)，
取 \(D\) 的右零空间中的一个非零向量 \(\boldsymbol \alpha\)，在 \((1.1)\) 式中左乘 \(\boldsymbol \alpha^T\)，右乘 \(\boldsymbol \alpha\)，\((1.1)\) 式变为：
这与 \(\boldsymbol \alpha\) 是非零向量矛盾。所以 \(m\ge n-1\)。Q.E.D.
Friendship Theorem
Theorem 2. (Friendship Theorem) 图 \(G=(V,E)\) 中任意两个点 \(a,b\) 有且仅有一个公共邻居，则一定有一个点的度数为 \(n-1\)（\(n=|V|\)）。
容易发现，风车状的图是满足定理条件的：
下面先证明：若 \(a,b\) 不相连，则 \(d(a)=d(b)\)（约定 \(d(x)\) 为 \(x\) 的度数）。
设 \(a\) 与 \(b\) 的公共邻居为 \(c\)（\(c\) 存在且唯一），\(a\) 的其他邻居为 \(x_1,\cdots,x_p\)，\(b\) 的其他邻居为 \(y_1,\cdots,y_q\)。又 \(a\) 与 \(c\) 有且仅有一个公共邻居，那么不妨设这个公共邻居为 \(x_1\)，那么 \(x_2,\cdots,x_p\) 与 \(c\) 都不相连。同理，不妨设 \(b\) 与 \(c\) 的公共邻居为 \(y_1\)，那么 \(y_2,\cdots,y_q\) 与 \(c\) 都不相连。还可以推出 \(x_1\) 与 \(y_j(1\le j\le q)\) 都不相连，否则 \(b\) 与 \(x_1\) 的公共邻居就不唯一了。同理，\(y_1\) 与 \(x_i(1\le i\le p)\) 都不相连。
现在考虑 \(x_2,\cdots,x_p\) 与 \(y_2,\cdots,y_q\) 之间的连边。\(a\) 与 \(y_2\) 有公共邻居（不能为 \(c\)），不妨设这个公共邻居为 \(x_2\)，那么 \(x_2\) 与 \(y_2\) 相连。再由 \(a\) 与 \(y_2\) 公共邻居的唯一性，\(y_2\) 与其他的 \(x_i(i\neq 2)\) 都不相连，同理 \(x_2\) 与其他的 \(y_j(j\neq 2)\) 都不相连。 用同样的方法继续讨论 \(y_3,x_3,\cdots\)。最终 \(x_2,x_3,\cdots,x_p\) 与 \(y_2,y_3,\cdots,y_q\) 一定能通过连边一一对应，这说明 \(p=q\)，\(d(a)=d(b)\)。所以，不相连的点度数一定相等。
回到原定理，令 \(G\) 的补图 \(G'=(V',E')\)，则由前面的结论可知，\(d(a)=d(b),\forall (a,b)\in E'\)。\(G'\) 可以拆分为若干个连通分量的并，设它们的点集分别为 \(U_1,U_2,\cdots,U_m\)，那么每个点集中，点的度数是相同的，且任意两个点集之间无边相连（在原图 \(G\) 中任意两个点集都互相连满了边）。对 \(m\) 进行讨论：
若 \(m\ge2\)，那么 \(V=U_1\cup (U_2\cup \cdots\cup U_k)=U_1\cup V_1\)。当 \(|U_1|>1,|V_1|>1\)，取 \(x_1,x_2\in U_1,y_1,y_2\in V_1\)，那么 \(y_1,y_2\) 都是 \(x_1,x_2\) 的公共邻居，这与条件矛盾。当 \(|U_1|=1\) 或 \(|V_1|=1\)，那么就存在度数为 \(n-1\) 的点，命题成立。
若 \(m=1\)，那么图 \(G\) 中所有点度数相同，设每个点度数为 \(k\)，可以推得 \(k\) 与 \(n\) 的关系：
\(G\) 的邻接矩阵为 \(A\)，\(trace(A)=0\)。由条件“任意两个点 \(a,b\) 有且仅有一个公共邻居”可知，\(A\) 的任意不同的两行点乘为 \(1\)。又有 \(A^T=A\)，所以 \(A^2=J+(k-1)I\)。\(J\) 的特征值为 \(n(1重),0(n-1重)\)，所以 \(A^2\) 的特征值为 \(n+k-1(=k^2),k-1\)，\(A\) 的特征值的绝对值为 \(k(1重),\sqrt{k-1}(n-1重)\)。 \(|trace(A)|=|k+a\sqrt{k-1}|=0,a\in \mathbb{Z}\)，\(k\) 只可能为 \(2\)。此时 \(n=3\)，\(G\) 为完全图，与 \(m=1\) 矛盾。Q.E.D.
Pyber Theorem (Regular subgraphs of dense graphs)
Theorem 3. (Pyber Theorem) 对任意正整数 \(k\)，存在一个常量 \(c_k\)，满足：对于充分大的图 \(G=(V,E)\)，\(|V|=n,|E|\ge c_kn\log n\)，一定存在一个 \(k-regular\) 子图（一个图被称为是 \(k-regular\) 的，当且仅当每个点的度数为 \(k\)）。
这个定理的证明需要有 “Chevalley-Warning Theorem” 的铺垫。
Theorem 3.1. (组合零点定理) \(\mathbb{F}\) 为任意一个域，\(S_i\) 为包含于 \(\mathbb{F}\) 的有限集（\(i=1,\cdots,n\)），令 \(f=f(x_1,\cdots,x_n)\) 为多项式环 \(\mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]\) 中的一个多项式。若 \(S_1\times S_2\times \cdots\times S_n \subseteq z(f)\)（\(z(f)\) 表示多项式 \(f\) 的零点集），那么一定存在 \(k_i\in \mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]\)（\(i=1,\cdots,n\)），满足：
其中 \(g_i=\prod_{g\in S_i}(x_i-g)\)。
先将 \(x_1\) 看作主元，多项式 \(f\) 对 \(g_1\) 做带余除法，得到 \(f=h_1g_1+r_1\)。再将 \(x_2\) 看作主元， \(r_1\) 对 \(g_2\) 做带余除法，得到 \(f=h_1g_1+h_2g_2+r_2\)。以此类推，最终可以得到：
其中 \(r_n\) 的任意变量 \(x_i\) 的次数都小于 \(\deg g_i=|S_i|\)。
下面证明 \(r_n\) 是零多项式。
对 \(n\) 归纳。当 \(n=1\) 时显然。\(n>1\) 时，将 \(x_n\) 看作主元，\(r_n=\sum w_ix_n^i\)，其中 \(w_i\) 为关于 \(x_1,\cdots,x_{n-1}\) 的多项式。当 \(x_1,\cdots,x_{n-1}\) 分别取定为 \(S_1,\cdots,S_{n-1}\) 中的值后，\(r_n'\) 为关于 \(x_n\) 的一元多项式，且 \(\deg r_n'<|S_n|\)。这说明 \(r_n'\) 总为零多项式，即 \(S_1\times S_2\times \cdots\times S_{n-1} \subseteq z(w_i)\)。由归纳假设，所有 \(w_i\) 都为零多项式。那么 \(r_n\) 也为零多项式。
所以 \(r_n\) 为零多项式。容易证明 \(\deg(k_i)\le \deg f-\deg g_i\)，所以可以令 \(k_1=h_1,\cdots,k_n=h_n\)。Q.E.D.
Corollary 3.1.1. 若 \(f\in \mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]\)，\(S_1\times S_2\times \cdots\times S_n \subseteq z(f)\)，那么 \(f\) 的各单项式中必有一个变量 \(x_i\) 次数小于等于 \(|S_i|\)。
Theorem 3.2. (Chevalley-Warning Theorem) \(\mathbb{F}_q\) 为 \(q\) 元域，\(q=p^k\)，\(p\)为素数，\(P_1,P_2,\cdots,P_m\) 为 \(\mathbb{F}_q[x_1,\cdots,x_n]\) 中的多项式，且 \(\sum_{i=1}^n \deg P_i <n\)，设 \(V=z(P_1)\cap z(P_2)\cap \cdots \cap z(P_m)\)，则 \(|V|\bmod p=0\)。
构造多项式 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)：
则当 \(\boldsymbol x\in V\) 时， \(f(\boldsymbol x)=1\)；当 \(\boldsymbol x\notin V\) 时，\(\exist j,P_j\neq 0,P_j^{q-1}=1, f(\boldsymbol x)=0\)。所以 \(f\) 为 \(V\) 的特征函数。问题化为证明：
由于 \(\sum_{i=1}^n \deg P_i<n\)，我们有 \(\deg f<n(q-1)\)，所以 \(f\) 的各个单项式中必有一个变量次数小于 \(q-1\)。对于所有 \(\boldsymbol v=(v_1,v_2,\cdots,v_n)\in V\)，构造多项式：
\(g_v(x)\) 是 \(\{\boldsymbol v\}\) 的特征函数，而 \(f\) 为 \(V\) 的特征函数。所以 \(h=f-\sum_{\boldsymbol v\in V}g_v\) 恒等于 \(0\)（\(h\) 不一定是零多项式），即：
由 Corollary 3.1.1 可知，\(h\) 的各个单项式中必有一个变量次数小于 \(q-1\)。\(f\) 已满足此条件，只需考察 \(g_v\) 的各单项式。由 \((3.2.2)\) 式可得， \(g_v\) 中有单项式 \((-1)^n\prod_{i=1}^n x_i^{q-1}\)，而 \(\sum_{\boldsymbol v\in V} g_v\) 中不能存在此单项式，所以 \(\sum_{v\in V}(-1)^n=|V|(-1)^n=0(\mathbb{F_q})\)。域 \(\mathbb{F}_q\) 的特征为 \(p\)，所以 \(|V| \bmod p=0\)。Q.E.D.
Lemma 3.3. \(p\) 为一素数，\(q=p^k(k\in \mathbb{N})\)，图 \(G=(V,E)\)，\(d(G)\ge 2q-2\)，\(\Delta(G)=2q-1\)（约定 \(d(G)\) 为 \(G\) 中每个点的平均度数，\(\Delta(G)\) 为 \(G\) 中度数最大的点的度数）。则 \(G\) 中存在 \(q-regular\) 子图。
对每条边 \((u,v)\in E\) 分别设定一个变量 \(x_i\)（或 \(x_{(u,v)},x_{(v,u)}\)）\(,1\le i\le m\)，变量个数 \(m=|E|>n(q-1)\)。再对每个点 \(u\in V\)，构造域 \(\mathbb{F}_q\) 上的多项式 \(f_u\)：
其中 \(N(u)\) 表示 \(v\) 的邻居集合。\([x_{(u,v)}\neq 0]\)：当 \(x_{(u,v)}\) 不等于 \(0\) 时它返回 \(1\)，其他情况返回 \(0\)。当各个变量的值确定后，可以根据 \(x_{(u,v)}\) 的值选择 \(G\) 的一个子图：若 \(x_{(u,v)}\neq 0\) ，则选择 \((u,v)\) 加入图 \(H\)，否则不加入；\(H\) 的点集由这些边的端点组成。那么最终 \(H\) 中点 \(u\) 的邻居个数模 \(q\) 等于 \(f_u\) 的值。若 \(f_u=0\) 对所有 \(u\in V\) 成立，那么 \(d(u)\bmod q=0,0<d(u)\le 2q-1\)，可以直接推出 \(H\) 是一个 \(q-regular\) 子图（当所有 \(x_i\) 都为 \(0\) 时，\(H\) 为空图，这是例外情况）。所以问题化为证明：
因为 \(\sum_{u\in V}\deg f_u=n(q-1)<m\)，所以由 Theorem 3.2 可得：
易知 \(x_i=0,\forall 1\le i\le m\) 是 \(f_u(u\in V)\) 的一组公共零点，所以 \(|Z|>0\)，\(|Z|\ge p\)，\(Z\) 中应至少含有一组非零解，\((3.3.1)\) 式得证。Q.E.D.
Lemma 3.4. 任何图 \(G=(V,E)\)，一定包含一个二分图子图 \(H\)，其中一边的点集为 \(V_1\)，另一边的点集为 \(V_2\)，满足：\(H\) 是 \(\delta-half-regular\) 的，\(\delta\ge d(G)/4\)（一个二分图被称为是 \(\delta-half-regular\) 的，当且仅当 \(d(v)=\delta,\forall v\in V_1\) 且 \(|V_1|\ge|V_2|\)）。
若随机将 \(V\) 分成两个子集，只保留它们之间的连边，去掉子集内部的边，这样生成的二分图边数的期望为原图边数的 \(1/2\)（每条边有 \(1/2\) 概率被保留）。所以一定存在一个二分图子图 \(G'=(V',E')\)，满足 \(|E'|\ge |E|/2\)，\(d(G')\ge d(G)/2\)。
接下来对 \(G'\) 不停地做这样的操作：任取 \(V'\) 中度数最小的点 \(v\)，若 \(d(v)<d(G')/2\)，就删去点 \(v\) 及它连出去的边，删去后边数变为 \(|E'|-d(v)=|V'|d(G')/2-d(v)>(|V'|-1)d(G')/2\)，所以平均度数一定递增，直到 \(d(v)\ge d(G')/2\) 操作停止。此时设得到的新图为 \(G''=(V'',E'')\)，那么 \(d(v)\ge d(G'')/2\ge d(G')/2\ge d(G)/4,\forall v\in V''\)，即最小度数的点的度数 \(\ge d(G)/4\)。
此时的图 \(G''\) 仍是二分图，设一边的点集为 \(V_1''\)，另一边的点集为 \(V_2''\)。不妨设 \(|V_1''|\ge |V_2''|\)，对所有 \(v\in V_1''\)，\(d(v)\ge d(G)/4\)，可以通过删边使得 \(V_1''\) 一侧所有点的度数都为 \(\delta\)，且 \(\ge d(G)/4\)。这样得到的新图 \(H\) 就是 \(\delta-half-regular\) 的。Q.E.D.
Lemma 3.5. 二分图 \(G\) 是 \(\delta-half-regular\) 的：一边的点集为 \(X\)，另一边的点集为 \(Y\)，满足 \(|X|\ge |Y|\) 且 \(|X|\) 中所有点度数为 \(\delta\)。若 \(G\) 的任何子图都不是 \(\delta-half-regular\) 的，那么 \(|X|=|Y|\)，且存在一组完美匹配。
若 \(|X|>|Y|\)，则可以从 \(|X|\) 中删去一个点得到一个 \(\delta-half-regular\) 子图，矛盾。所以 \(|X|=|Y|\)。
对于 \(X\) 的任意子集 \(X'\)，一定满足 \(|N(X')|\ge |X'|\)（否则 \(X'\cup N(X')\) 就诱导出了更小的 \(\delta-half-regular\) 子图）。由 Hall 定理 可得，\(G\) 一定存在一组完美匹配。
The Proof of Theorem 3 (Pyber Theorem) 对任意正整数 \(k\)，存在一个常量 \(c_k\)，满足：对于充分大的图 \(G=(V,E)\)，\(|V|=n,|E|\ge c_kn\log n\)，一定存在一个 \(k-regular\) 子图。
一定存在 \(q=p^i(i\in \mathbb{N})\)，满足 \(k\le q\le 2k\)（\(q\) 是二的幂次时显然）。如果 \(G\) 中存在一个 \(q-regular\) 子图，且它还是二分图，那么由 Hall 定理 容易证明存在完美匹配，将完美匹配的边删去后就得到了 \((q-1)-regular\) 子图。重复进行这样的操作就可以得到 \(k-regular\) 子图。
下面证明：当 \(|E|\ge c_q n\log n\) 时，\(G\) 中存在一个 \(q-regular\) 二分图子图。
\(d(G)\ge c_q\log n\)，由 Lemma 3.4 可知，\(G\) 中存在 \(\delta-half-regular\) 子图，\(\delta\ge c_q\log n/4\)，我们选出其中一个极小的子图 \(G_0=(V_0,E_0)\)，由 Lemma 3.5 可知，\(G_0\) 存在完美匹配，将完美匹配中的边删去之后将得到一个 \((\delta-1)-half-regular\) 子图，再选出其中一个极小的 \((\delta-1)-half-regular\) 子图 \(G_1=(V_1,E_1)\) …… 通过一系列这样的操作得到了一个子图序列：
序列中对任意 \(i<\delta-1\)，\(G_{i+1}\) 是 \(G_i\) 的子图，\(G_i\) 是 \((\delta-i)-half-regular\) 的，且存在一个完美匹配，设它的完美匹配为 \(A_i\)，那么 \(A_i\) 的边数为 \(|V_i|/2\)。考虑以下序列：
由于 \(G_{\delta-1}\) 非空，\(|V_{s(2q-2)}|>|V_{\delta-1}|\ge 1\)，
而一定存在充分大的（与 \(n\) 无关的） \(c_q\)，满足 \(\left(\frac{2q-2}{2q-3}\right)^s\ge \left(\frac{2q-2}{2q-3}\right)^{c_q\log n}>n\)，所以一定存在 \(0\le x\le s-1\)，满足
设 \(l=x(2q-2),r=(x+1)(2q-2)\)，令图 \(H=(V_H,E_H)=A_{l}\cup A_{l+1}\cup \cdots\cup A_{r}\)，则
所以 \(d(H)=2|E_H|/|V_H|>2q-2\)。
又因为 \(H\) 是 \(r-l+1\) 个不相交完美匹配的并，所以 \(\Delta(H)= 2q-1\)。由 Lemma 3.3 可知，\(H\) 中一定存在 \(q-regular\) 子图。又因为 \(H\) 包含于二分图 \(G_0\)，所以 \(H\) 是 \(q-regular\) 的二分图。再由前面的证明可知，一定存在一个 \(k-regular\) 子图。Q.E.D.
Huang Hao Theorem (Induced subgraphs of hypercubes and a proof of the Sensitivity Conjecture)
Theorem 4. (Huang Hao Theorem) 令 \(Q_n\) 为 \(n\) 维超立方体图，它的顶点集由 \(\{0,1\}^n\) 中的向量组成，两个向量有边当且仅当它们恰在一个坐标上不同。对任意的 \(n\)，对 \(Q_n\) 的任意一个诱导子图 \(H=(V,E)\)，若 \(|V|=2^{n-1}+1\)，则 \(\Delta(H)\ge \lceil\sqrt{n}\rceil\)，并且这个界是紧的。
一个 \(\Delta(H)=\lceil \sqrt{n}\rceil\) 的构造：……
……
打字太累了，eden 放弃了。
