特征值分解(EVD)

特征值分解

　　设  $A_{n \times n}$  有  $n$  个线性无关的特征向量  $\boldsymbol{x}_{1}, \ldots, \boldsymbol{x}_{n}$，对应特征值分别为  $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} $

　　　　$A\left[\begin{array}{lll}\boldsymbol{x}_{1} & \cdots & \boldsymbol{x}_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}\lambda_{1} \boldsymbol{x}_{1} & \cdots & \lambda_{n} \boldsymbol{x}_{n}\end{array}\right]$

　　所以：　　

　　　　$A = \left[\begin{array}{lll}\boldsymbol{x}_{1} & \cdots & \boldsymbol{x}_{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}\lambda_{1} & & \\& \ddots & \\& & \lambda_{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}\boldsymbol{x}_{1} & \cdots & \boldsymbol{x}_{n}\end{array}\right]^{-1}$

　　因此有 EVD 分解

　　　　$ A X=X \Lambda \quad \quad \quad A=X \Lambda X^{-1}$

　　其中 $X$ 为 $\boldsymbol{x}_{1}, \ldots, \boldsymbol{x}_{n}\left(\right. 列向量)$ 构成的矩阵， $\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right) $。
　　即使固定 $ \Lambda$， $X$ 也不唯一。

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 特征值分解的例子

　　这里我们用一个简单的方阵来说明特征值分解的步骤。我们的方阵A定义为：

　　　　$A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\-4 & 3 & 0 \\1 & 0 & 2\end{array}\right)$

　　首先，由方阵A的特征方程，求出特征值。

　　　　$|A-\lambda E|=\left|\begin{array}{ccc}-1-\lambda & 1 & 0 \\-4 & 3-\lambda& 0 & \\1 & 0 & 2-\lambda\end{array}\right|=(2-\lambda)\left|\begin{array}{cc}-1-\lambda & 1 \\-4 & 3-\lambda\end{array}\right|=(2-\lambda)(\lambda-1)^{2}=0$

　　特征值为 $\lambda=2,1$ （重数是2）。
　　然后，把每个特征值入带入线性方程组 $ (A-\lambda E) x=0$ , 求出特征向量。

　　当 $ \lambda=2$ 时，解线性方程组$(A-2 E) x=0 $ 。

　　　　$(A-2 E)=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 0 \\-4 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array}\right)$

　　解得 $x_{1}=0, \quad x_{2}=0$ 。特征向量为：$p_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\0 \\1\end{array}\right)$

　　当 $ \lambda=1$ 时，解线性方程组$ (A-E) x=0$

　　　　$\begin{array}{l}(A-2 E)=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\-4 & 2 & 0 \\1 & 0 & 1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 0\end{array}\right)\end{array}$

　　$x_{1}+x_{3}=0, \quad x_{2}+2 x_{3}=0$ 。特征向量为：$p_{2}=\left(\begin{array}{c}-1 \\-2 \\1\end{array}\right)$

　　最后，方阵A的特征值分解为：

　　　　$A=X \Lambda X^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & -1 \\0 & -2 & -2 \\1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & -1 \\0 & -2 & -2 \\1 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}$

　　进一步得, 当 $A$ 为实对称矩阵的时候, 即 $A=A^{T}$ , 那么它可以被分解成如下的形式

　　　　$A=P \Lambda P^{T}$

　　其中, $P$ 为单位正交矩阵。

　　

最终修改时间：2022-02-23 17:56:33