各种坐标系统下转化坐标的数学基础

　　world coordinate  是世界坐标系   

　　coordinate frame 是局部坐标系 也叫坐标架 类似于物体坐标系，或者摄像机坐标。

　    第一部分：这里用到得一个线性代数里的概念 叫做  过度矩阵： 从一个坐标基 到 另个一坐标基之间有一个过度矩阵  如 从坐标基A到坐标基B  有个过度矩阵C  则有 A*C ＝ B 。如果有一个向量在世界坐标系下的坐标为a，有两在世界坐标系下的坐标基（coordinate frame）A和B，且从A到B的过度矩阵为C，a在A和B两个坐标基下的坐标是a‘和b‘。那么有

a ＝ A*a‘ ＝ B*b‘  由 A*C＝B 带入得  A*a‘ ＝ B*b‘＝A*C *b‘  其中 A为可逆矩阵 有 a‘ ＝ C*b‘。这样就得到了两个在不同坐标基，且由A可逆还可知C ＝ B＊A^－1。

　　第二部分：那么，如何构建一个坐标基。通常只要给定一个向量，就可以构建一个坐标基。已知一个向量a，以这个向量为一个坐标轴构建一个坐标基，方法如下：

　（1）任意选择一个向量v，要求v与a不共线且v不为零。

　（2）让a与v叉乘得到一个与v和a平面垂直的向量b。

　（3）让向量b与a叉乘，得到一个与a和b平面垂直的向量c。

    则abc向量组成的坐标系就是一个坐标基A。如果d是世界坐标系下的一个向量，那么，由第一部分可知，在A中存在一个d‘，有 d ＝ A*d'，且有一个过度矩阵C，E*C ＝ A，其中E为世界坐标系的坐标基。那么，C ＝ A，d ＝ C*d‘。那么，要求d在新坐标系abc下的坐标就是 d‘ ＝C^－1*d＝A^－1*d。因为A为正交矩阵，有A^T ＝ A^－1，则d‘ ＝ d *A^T。

    正交矩阵性质：正交矩阵列向量两两正交，行向量两两正交，且所有行向量和列向量长度都是一，且有A*A^T =A^T *A ＝ E ，则A^T  ＝ A^－1。