【夏弈的题解记录】快速幂加速乘方

前言

　　在开发中，计算乘方，我们一般是使用 Math.pow()->double 方法来进行计算，这个方法最终调用的是一个本地方法 StrictMath.pow->double （Java）。

　　那如果要我们自己进行计算呢？原理非常简单，a的n次方就是n个a相乘，当n小于0的时候，就是先计算乘方 -n 的结果，再将结果作为除数去除1即可：

class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        if( n==0 || x==1.0){ return 1.0; }
        if(n<0){ return 1/(x*myPow(x,(n+1)*-1)); } // 针对如Integer.MIN_VALUE的情况，避免因为正负转换导致的越界问题
        double res=x;
        while(n-->1){
            res*=x;
        }
        return res;
     }
 }

 

　　但如果就这么实现，当n很大时时候（比如Integer.MAX_VALUE），求解的过程就要进行n-1次乘法，那整个计算过程消耗的时间就非常可观了，如果在力扣中，还会出现下面的问题：

　　

　　这个时候，我们就可以利用 快速幂 来实现乘方的加速，求解 a的n次方 时，使用快速幂，可以将算法的时间复杂度降低到 O(log2n)。

 

1. 示例题目描述

　　原题：力扣 剑指 Offer 16. 数值的整数次方

　　

 

2. 原理描述

　　当我们计算 x的n次方时，针对指数n，假设n对应的二进制数为：bm bm-1 bm-2 ... ... b2 b1，根据二进制转十进制的算法，可以得到：

　　　　n = 1*b1 + 2*b2 + 4*b3 + ... ... + 2^m-2*bm-1 + 2^m-1*bm

　　从而有

　　　　x^n =  x^( 1*b1 + 2*b2 + 4*b3 + ... ... + 2^m-2*bm-1 + 2^m-1*bm )

　　　　　　= x^1*b1     *     x^2*b2     *     x^4*b3     *     ... ...      *     x^2^m-2*bm-1     *     x^ 2^m-1*bm 

　　这样，我们就可以把求 x^n 的计算过程从 n-1 次乘法运算 降低到了 log2n次乘法运算。因为 bm 是 指数n 二进制形式下的一个数字，所以 bm 的值只有两种情况：1 或者 0。

　　1）当 bm=1 的时候，x^ 2^m-1*bm = x^ 2^m-1；

　　2）当 bm=0 的时候，x^ 2^m-1*bm = x^0 = 1。

　　但我们可以注意到的是，x^ 2^m-1*bm中的 2^m-1 部分只和 bm 在指数n二进制形式下的位置 m 有关，而与 bm 的值无关。

　　我们可以从 b1 开始运算，而b1也就对应着 指数n 二进制形式下的第1位（最右一位）。执行完这次乘法后，对n执行一次 右移 >> 运算，使得 b1 被舍弃掉，b2来到第1位，而此时x^ 2^m-1*bm 中的 2^m-1 部分（在这里，我们将这部分称之为 k ）也要随着乘法乘一次2，从而由 x^1*b1 中的 k=1（2^0) 变为 k=2（2^1），这使得我们在进行第二次乘法时，乘数就变成了：

　　x^k*b2 = x^2*b2 

　　重复这个过程，直到 n==0 ， 这意味着我们已经完成了整个运算过程，现在的计算结果就是乘方的结果。　　

 

3. 实现

　　每次乘法中，首先要判断 当前位的 bm 是1还是0，我们通过 n&1 计算来进行判断，只有当第一位为 1 的时候，n&1 的计算结果才是1。我们用 res 记录每次乘法的结果，当 bm=0 的时候，本轮乘法中 res只需要乘 1 即可（可省略），否则就要乘上 x^ 2^m-1*bm  。但无论bm是不是0，作为 x^ 2^m-1*bm  中 2^m-1 的部分，x都要进行一次自乘。然后我们将 n 右移一位。重复这个过程，而跳出循环的条件就是 n==0。

　　实现可以参考下面给出的代码（Java）：

class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        if( n==0 || x==1.0){ return 1.0; }
        // 指数为负时的处理
        // 为了应对 Integer.MIN_VALUE 的情况，所以将指数加1，避免越界
        if(n<0){ return 1/(x*myPow(x,(n+1)*-1)); }
        double res=1;
        // 快速幂加速乘法，可以指数降低乘法次数
        while(n>0){
            if((n&1)==1){
                res*=x;
            }
            x*=x;
            n>>=1;
        }
        return res;
    }
}