4.3 向后 Euler 格式
向前 \(\text{Euler}\) 格式要求步长比 \(r \leqslant 1/2\)，时间步长比空间步长必须小得多，下面介绍一个无条件稳定的差分格式。
4.3.1 差分格式的建立
(1) 建立差分格式
在结点处考虑定解问题 \((4.1.1)\)，有
\[\frac{\partial u}{\partial t}(x_i,t_k) - a \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t_k)=f(x_i,t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n
\]
将
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t_k) = \delta_x^2 U_i^k - \frac{h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ik},t_k), \quad x_{i-1} < \xi_{ik} < x_{i+1}
\]
和
\[\frac{\partial u}{\partial t} (x_i,t_k) = D_{\bar{t}} U_i^k +\frac{\tau}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x_i,\bar{\eta}_{ik}), \quad t_{k-1} < \bar{\eta}_{ik} < t_k
\]
代入，得到
\[D_{\bar{t}} U_i^k - a \delta_x^2 U_i^k = f(x_i,t_k) - \frac{\tau}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x_i,\bar{\eta}_{ik}) - \frac{a h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ik},t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.1}
\]
注意到初边值条件 \((4.1.2)\) 和 \((4.1.3)\)，得到
\[U_i^0 = \varphi(x_i), \quad 0 \leqslant i \leqslant m \tag{4.3.2}
\]
\[U_0^k = \alpha(t_k), \quad U_m^k = \beta(t_k), \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.3}
\]
在 \((4.3.1) \sim (4.3.2)\) 中略去小量项得到
\[R_{ik}^{(2)} = - \frac{\tau}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x_i,\bar{\eta}_{ik}) - \frac{a h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ik},t_k) \tag{4.3.4}
\]
并用 \(u_i^k\) 代替 \(U_i^k\) 得到如下差分格式
\[D_{\bar{t}} u_i^k - a \delta_x^2 u_i^k = f(x_i,t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.5}
\]
\[u_i^0 = \varphi(x_i), \quad 0 \leqslant i \leqslant m \tag{4.3.6}
\]
\[u_0^k = \alpha(t_k), \quad u_m^k = \beta(t_k), \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.7}
\]
称差分格式 \((4.3.5) \sim (4.3.7)\) 为向后 \(\text{Euler}\) 格式。
(2) 局部截断误差
\(R_{ik}^{(2)}\) 被称为差分格式 \((4.3.5)\) 的局部截断误差，利用 \((4.2.9)\) 可记
\[c_1 = \max \left\{ \frac{1}{2} \max_{0\leqslant x \leqslant 1\\0\leqslant t \leqslant T} \left| \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t)\right|\, , \, \frac{a}{12} \max_{0\leqslant x \leqslant 1\\0\leqslant t \leqslant T} \left| \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(x,t)\right| \right\}
\]
可以得到
\[|R_{ik}^{(2)}| \leqslant c_1 (\tau + h^2), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.8}
\]
4.3.2 差分格式的求解
我们记
\[u^k = (u_0^k, u_1^k, \cdots, u_{m-1}^k, u_{m}^k)
\]
由 \((4.3.6)\) 知第 \(0\) 层上的值 \(u^0\) 已知，设已经确定出第 \(k-1\) 层的值 \(u^{k-1}\)，则关于第 \(k\) 层值的差分格式为
\[D_{\bar{t}} u_i^k - a \delta_x^2 u_i^k = f(x_i,t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1
\]
\[u_0^k = \alpha(t_k), \quad u_m^k = \beta(t_k)
\]
进一步有
\[-r u_{i-1}^k + (1 + 2r) u_i^k - r u_{i+1}^k = u_i^{k-1} + \tau f(x_i, t_k), \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1
\]
\[u_0^k = \alpha(t_k), \quad u_m^k = \beta(t_k)
\]
可将上式写成如下的矩阵形式
\[\begin{align*}
\begin{bmatrix}
1-2r & -r \\
-r & 1-2r & -r \\
& \ddots & \ddots & \ddots \\
& & -r & 1-2r & -r \\
& & & -r & 1-2r \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_1^{k} \\
u_2^{k} \\
\vdots \\
u_{m-2}^{k} \\
u_{m-1}^{k}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
u_1^{k-1} \\
u_2^{k-1} \\
\vdots \\
u_{m-2}^{k-1} \\
u_{m-1}^{k-1}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\tau f(x_1, t_k) + r u_0^k \\
\tau f(x_2, t_k) \\
\vdots \\
\tau f(x_{m-2}, t_k) \\
\tau f(x_{m-1}, t_k) + r u_m^k
\end{bmatrix}
\end{align*} \tag{4.3.9}
\]
由 \((4.3.9)\) 可以看到在每一个时间层上只要解一个三对角线性方程组即可。
4.3.3 差分格式解的先验估计式
定理 4.3.1
设 \(\{u_i^k \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, \, 0 \leqslant k \leqslant n\}\) 为差分方程组
\[D_{\bar{t}} u_i^k - a \delta_x^2 u_i^k = g_i^k, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.10}
\]
\[u_i^0 = \varphi_i, \quad 0 \leqslant i \leqslant m \tag{4.3.11}
\]
\[u_0^k = 0, \quad u_m^k = 0, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.12}
\]
的解，则对任意步长比 \(r\)，有
\[\|u^k\|_{\infty} \leqslant \| \varphi \|_{\infty} + \tau \sum_{l=1}^k \|g^l\|_{\infty}, \quad 0 \leqslant k \leqslant n
\]
其中，\(\|g^l\|_{\infty} = \max_{1 \leqslant i \leqslant m-1} |g_i^l|\)。
证明：将第一个式子写成
\[(1+2r) u_i^k = r(u_{i-1}^k + u_{i+1}^k) + u_i^{k-1} + \tau g_i^k, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n
\]
则有
\[(1+2r) |u_i^k| \leqslant r(|u_{i-1}^k| + |u_{i+1}^k|) + |u_i^{k-1}| + \tau |g_i^k| \leqslant 2r \|u^k\|_{\infty} + \|u^{k-1}\|_{\infty} + \tau \|g^k\|_{\infty}, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n
\]
于是
\[(1+2r) \|u^k\|_{\infty} \leqslant 2r \|u^k\|_{\infty} + \|u^{k-1}\|_{\infty} + \tau \|g^k\|_{\infty}, \quad 1 \leqslant k \leqslant n
\]
化简可得
\[\|u^k\|_{\infty} \leqslant \|u^{k-1}\|_{\infty} + \tau \|g^k\|_{\infty}, \quad 1 \leqslant k \leqslant n
\]
递推可得
\[\|u^k\|_{\infty} \leqslant \|u^0\|_{\infty} + \tau \sum_{l=1}^{k-1} \|g^l\|_{\infty} = \|\varphi\|_{\infty} + \tau \sum_{l=1}^{k-1} \|g^l\|_{\infty}, \quad 1 \leqslant k \leqslant n
\]
证毕。
4.3.4 差分格式解的存在性和唯一性
定理 4.3.2
差分格式 \((4.3.5) \sim (4.3.7)\) 的解存在且唯一。
证明：易见差分格式 \((4.3.5) \sim (4.3.7)\) 需求解的矩阵形式 \((4.3.9)\) 其系数矩阵是严格对角占优的，因而存在唯一解。
证毕。
4.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性
(1) 收敛性
给出差分格式的收敛性的相关定理。
定理 4.3.3
设 \(\{u(x,t) \, | \, 0 \leqslant x \leqslant 1, \, 0 \leqslant t \leqslant T\}\) 为定解问题 \((4.1.1) \sim (4.1.3)\) 的解，\(\{u_i^k \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, \, 0 \leqslant k \leqslant n\}\) 为差分格式 \((4.3.5) \sim (4.3.7)\) 的解，则对任意步长比 \(\tau\)，有
\[\max_{0 \leqslant i \leqslant m} |u(x_i, t_k) - u_i^k| \leqslant c_1 T(\tau + h^2), \quad 0 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.13}
\]
其中，\(c_1\) 由式 \((4.2.9)\) 定义。
证明：记误差
\[e_i^k = u(x_i,t_k) - u_i^k, \quad 0 \leqslant i \leqslant m, \quad 0 \leqslant k \leqslant n
\]
将式 \((4.3.1) \sim (4.3.3)\) 分别与式 \((4.3.5) \sim (4.3.7)\) 相减，得到误差方程为
\[D_{\bar{t}} e_i^k - a \delta_x^2 e_i^k = R_{ik}^{(2)}, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.14}
\]
\[e_i^0 = 0, \quad 0 \leqslant i \leqslant m \tag{4.3.15}
\]
\[e_0^k = 0, \quad e_m^k = 0, \quad 1 \leqslant k \leqslant n \tag{4.3.16}
\]
应用定理 \(4.3.1\) 并注意到式 \((4.3.8)\)，可得
\[\|e^k\|_{\infty} \leqslant \tau \sum_{l=1}^k \max_{1\leqslant i \leqslant m-1} |R_{il}^{(2)}| \leqslant \tau \cdot k \cdot c_1 (\tau + h^2) \leqslant c_1 T(\tau + h^2), \quad 0 \leqslant k \leqslant n
\]
证毕。
(2) 稳定性
给出差分格式的稳定性的相关定理
定理 4.3.4
差分格式 \((4.3.5) \sim (4.3.7)\) 对任意步长比 \(\tau\) 关于初值和右端项在下述意义下是稳定的：设 \(\{u_i^k \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, \, 0 \leqslant k \leqslant n\}\) 为差分方程
的解
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