数学 - 微分方程数值解 - 第 2 章 常微分方程两点边值问题的差分解法 - 2.1 Dirichlet 边值问题

2.1 Dirichlet 边值问题

令 \(q(x) \geqslant 0\)，\(f(x)\) 为一个已知函数，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 为已知常数。有如下定解问题：

\[\begin{align*} & -u'' + q(x) u = f(x), \quad a < x < b \tag{2.1.1} \\ & u(a) = \alpha, \quad u(b) = \beta \tag{2.1.2} \end{align*} \]

对该问题虽然难以求出数值解，但我们可以设法给出解的估计式。

2.1.1 基本微分不等式

用 \(C^m([a,b])\) 表示闭区间 \([a,b]\) 上具有 \(m\) 阶连续导数的函数的集合。

设 \(u(x) \in C[a,b]\)，记

\[\| u \|_{\infty} = \max_{a \leqslant x \leqslant b} |u(x)|, \quad \| u \| = \sqrt{\int_{a}^b u^2(x) \, \mathrm{d} x} \]

如果 \(u(x) \in C^1 ([a,b])\)，则进一步记

\[| u |_{1} = \sqrt{\int_{a}^b [u'(x)]^2 \, \mathrm{d} x}, \quad \| u \|_{1} = \sqrt{\| u \|^2 + | u |_{1}^2} \]

引理 2.1.1

• 设 \(u(x) \in C^2[a, b],v(x) \in C^1[a, b]\)，则有

\[ - \int_{a}^{b} u''(x) v(x) \, \mathrm{d} x = \int_{a}^{b} u'(x) v'(x) \, \mathrm{d} x + u'(a) v(a) - u'(b) v(b) \tag{2.1.3} \]

• 设 \(u(x) \in C^2[a, b]\)，且 \(u(a) = 0\)，\(u(b)=0\)，则有

\[- \int_a^b u''(x) u(x) \, \mathrm{d} x = | u |_{1}^2 \tag{2.1.4} \]

• 设 \(v(x) \in C^1[a, b]\)，且 \(v(a) = v(b) =0\)，则有

\[\| v \|_{\infty} \leqslant \frac{\sqrt{b-a}}{2} | v |_{1} , \quad \| v \| \leqslant \frac{b-a}{\sqrt{6}} |v|_{1} \tag{2.1.5} \]

• 设 \(v(x) \in C^1[a, b]\)，且 \(v(a) = v(b) =0\)，则对任意 \(\varepsilon > 0\) 有

\[\| v \|_{\infty}^2 \leqslant \varepsilon | v |_{1}^2 + \frac{1}{4\varepsilon} \| v \|^2\tag{2.1.6} \]

• 设 \(v(x) \in C^1[a, b]\)，则对任意 \(\varepsilon > 0\) 有

\[\| v \|_{\infty}^2 \leqslant \varepsilon | v |_{1}^2 + \left( \frac{1}{\varepsilon} + \frac{1}{b-a} \right) \| v \|^2\tag{2.1.7} \]

证明： 引理 \(2.1.1\) 的第一条可以由分部积分直接得到。

第二条可以看作第一条的一个特殊情形。

证明第三条，对于任意 \(x \in (a,b)\)，有

\[v(x) = \int_a^x v'(s) \, \mathrm{d} s, \quad v(x) = - \int_x^b v'(s) \, \mathrm{d} s \tag{2.1.8} \]

将上式两边平方并应用 \(\text{Cauchy-Schwarz}\) 不等式，得到

\[\begin{align*} & v^2(x) \leqslant \int_a^x \,\mathrm{d} s \int_a^x [v'(s)]^2 \,\mathrm{d} s = (x - a) \int_a^x [v'(s)]^2 \,\mathrm{d} s \tag{2.1.9} \\ & v^2(x) \leqslant \int_x^b \,\mathrm{d} s \int_x^b [v'(s)]^2 \,\mathrm{d} s = (b - x) \int_x^b [v'(s)]^2 \,\mathrm{d} s \tag{2.1.10} \end{align*} \]

将式 \((2.1.9)\) 乘以 \(b-x\)，式 \((2.1.10)\) 乘以 \(x-a\)，并将结果相加得

\[(b-a) v^2(x) \leqslant (x-a)(b-x) \int_x^b [v'(s)]^2 \,\mathrm{d} s = (x-a)(b-x) | v |_{1}^2 \tag{2.1.11} \]

又当 \(x\in(a,b)\) 时，有

\[(x-a)(b-x) \leqslant \frac{(b-a)^2}{4} \]

因此有

\[| v(x) |\leqslant \frac{\sqrt{b-a}}{2}| v |_{1}, \quad \forall x \in(a, b) \]

则知

\[\| v \|_{\infty} \leqslant \frac{\sqrt{b-a}}{2} | v |_{1} \]

对式 \((2.1.11)\) 两端关于 \(x\) 进行积分，得

\[(b-a) \int_a^b v^2(x) \, \mathrm{d} x \leqslant | v |_1^2 \int_a^b (x-a)(b-a) \, \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^3}{6} |v|_1^2 \]

可得

\[\| v \| \leqslant \frac{(b-a)}{\sqrt{6}} \]

证明第四条，对 \(\forall \varepsilon > 0\) 有

\[\begin{align*} v^2(x) & = \int_a^x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} [v^2(s)] \, \mathrm{d} s = 2\int_a^x v(s) v'(s) \, \mathrm{d} s \\ v^2(x) & = -\int_x^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} [v^2(s)] \, \mathrm{d} s = -2\int_x^b v(s) v'(s) \, \mathrm{d} s \end{align*} \]

将以上两式相加并除以 \(2\)，得到

\[\begin{align*} v^2(x) & \leqslant \int_a^x | v(s) v'(s) | \, \mathrm{d} s + \int_x^b | v(s) v'(s) | \, \mathrm{d} s = \int_a^b | v(s) v'(s) | \, \mathrm{d} s \\ & \leqslant \int_a^b \varepsilon [v'(s)]^2 + \frac{1}{4 \varepsilon} [v(s)]^2 \, \mathrm{d} s = \varepsilon |v|_1^2 + \frac{1}{4 \varepsilon} \| v \|^2, \quad a \leqslant x \leqslant b \end{align*} \]

第五条代证明。

2.1.2 解的先验估计式

我们给出齐次边值问题解的先验估计式。

定理 2.1.1

考虑两点边值问题

\[\begin{align*} & -v'' + q(x) v = f(x), \quad a < x < b \tag{2.1.12} \\ & v(a)=0, \quad v(b)=0 \tag{2.1.13} \end{align*} \]

设 \(u(x) \in C^2[a, b]\) 为上述问题的解，其中 \(q(x) \geqslant 0\)，则有

\[\begin{align*} & | v |_1 \leqslant \frac{b-a}{\sqrt{6}} \| f \| \tag{2.1.14} \\ & \| v \|_{\infty} \leqslant \frac{(b-a)^2}{2 \sqrt{6}} \| f \|_{\infty} \tag{2.1.15} \end{align*} \]

证明：证明式 \((2.1.14)\)。

将 \((2.1.12)\) 的两端同乘以 \(v(x)\)，并关于 \(x\) 在 \((a, b)\) 上积分，得

\[- \int_a^b v''(x) v(x) \, \mathrm{d} x + \int_a^b q(x) v^2(x) \, \mathrm{d} x = \int_a^b f(x) v(x) \, \mathrm{d} x \]

根据引理 \(2.1.1\)，得到

\[|v|_1^2 \leqslant \int_a^b f(x) v(x) \, \mathrm{d} x \leqslant \| f \| \cdot\| v \| \]

再利用引理 \(2.1.1\)，得到

\[|v|_1^2 \leqslant \| f \| \cdot\| v \| \leqslant \frac{b-a}{\sqrt{6}} \| f \| \cdot |v|_1 \]

于是

\[| v |_1 \leqslant \frac{b-a}{\sqrt{6}} \| f \| \]

证明式 \((2.1.15)\)。注意到

\[\| f \| \leqslant \sqrt{b-a} \| f\|_{\infty} \]

由式 \((2.1.14)\) 以及引理 \(2.1.1\)，得到

\[\| v \|_{\infty} \leqslant \frac{\sqrt{b-a}}{2} |v|_1 \leqslant \frac{\sqrt{b-a}}{2} \cdot \frac{b-a}{\sqrt{6}}\| f \| \leqslant \frac{(b-a)^2}{2\sqrt{6}} \]

证毕。